Projet de méthodes numériques : goutte mono-dimensionnelle

Ce projet traite de la dynamique moléculaire qui consiste à simuler l’évolution d’un système de particules au cours du temps par le calcul informatique. Divers algorithmes basés sur les lois de la dynamique classique de Newton sont utilisés. Dans notre cas, c’est l’algorithme de Verlet. Dans cette méthode, les positions au temps t et (t-dt) servent à calculer les nouvelles positions au temps (t+dt).
Pour cela, on étudie le modèle de la goutte mono-dimensionnelle.

Selon Newton : F=mr m la masse de l’objet, r la dérivée seconde de la position qui donne l’accélération.

Le potentiel d’interaction (Lennard-Jones) entre une particule i et j est : U=4ε σr12-σr6 avec r= xi-x(j), ε paramètre de Lennard-Jones σ rayon du cœur impulsif, distance constante entre deux atomes où forces attractives et répulsives sont identiques. Il sert à calculer la force appliquée sur une particule par interaction avec toutes les autres.

Cette force est définie par la relation F = -∇U
On obtient : F=- ∂y∂x 4ε σxd12-σxd6 = -4ε 12σxd1312-6σxd76= -24ϵσ6 1xd7-2σ6xd13

En appliquant la relation fondamentale de la dynamique associée, on obtient la relation m d2xdt2= -24εσ6 1r7- 2σ6r13
On choisit N particules initialement au repos, répartie de façon homogène sur un segment. On crée un vecteur où les positions entre les atomes est de l’ordre de l’angström. Voici le code correspondant : dx1=0.4d-10; r=0:dx1:N-1*dx1;

Ensuite, on écrit le calcul de la résultante des forces sous Matlab : for i=1:N F=0; U=0; for j=1:N if(i~=j) d = abs(r(i)-r(j));

F = -24*eps*(sig^6)*((d.^-7)-2*(sig^6)*(d.^-13))*sign(r(i)-r(j)); U = 4*eps*((sig/d).^12-(sig/d).^6); R(i) = R(i) + F; W(i) = W(i) + U; end end end

R(i) et W(i) qui sont