UTM-ISMAG M1

MIMA40 C.Hassenforder

Chapitre 4 TRANSFORMATION DE FOURIER
Sous des hypoth`ses assez g´n´rales, la transformation de Fourier permet d’exprimer une e e e fonction comme superposition “continue” d’exponentielles complexes e2iπνx ν∈IR g´n´ralisant e e ainsi l’expression en s´rie de Fourier d’une fonction p´riodique. La transformation de Fourier e e sera d´finie pour les fonctions de L1 (IR), puis de S(IR) et enfin par prolongement de cet espace e a ` L2(IR), qui repr´sente l’espace des signaux d’´nergie finie. Pour ses propri´t´s remarquables, e e e e la transform´e de Fourier est un outil incontournable en th´orie du signal et dans bien d’autres e e domaines : probabilit´s, ´quations aux d´riv´es partielles,... e e e e 4.1 Transformation de Fourier dans L1 (IR) ` D´finition. A toute fonction f de L1(IR), on associe sa Transform´e de Fourier F (f ), e e ˆ e not´e aussi f d´finie par : e ˆ F (f )(ν) = f (ν) = IR Remarques : 1) Certains auteurs, sp´cialistes de la th´orie du signal, d´finissent une transe e e form´e de Fourier ´quivalente ` celle-ci en fonction de la pulsation ω = 2πν : e e a F (f )(ω) = IR ˆ 2) Si f est paire, f (ν) = 2
0 +∞

e−2iπνx f (x) dx.

e−iωx f (x) dx.

f (x) cos(2πνx) dx ;
+∞

ˆ 3) Si f est impaire, f (ν) = −2i
0

f (x) sin(2πνx) dx.

Exemple : Soit f la “fonction porte” ´gale ` 1 si x ∈ [−c, c] et 0 sinon. Montrer que e a sin(2πcν) ˆ f (ν) = . πν

Exemple : Soit gN la fonction “sinus tronqu´e” d´finie par sin(2πν0t) si t ∈ [−N, N ] et 0 e e sinon. Alors sin 2πN (ν0 + ν) sin 2πN (ν0 − ν) gN (ν) = i ˆ − 2π(ν0 + ν) 2π(ν0 − ν) Le graphe de la partie imaginaire de gN poss`de 2 pics au voisinage de ν0 et −ν0 . Si N tend ˆ e vers +∞, gN se r´duit ` 2 pics d’ordonn´es respectives −N et N et d’abscisses ν0 et −ν0 . ˆ e a e ˆ Th´or`me. Pour toute f ∈ L1 , f est born´e, continue et tend vers 0 quand ν tend vers e e e ˆ ∈ C0 . ±∞. On ´crit f e

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Chapitre 4

Transformation de Fourier

Preuve. La fonction ν →