Séries d’exercices ( Nombres Complexes) Classe : 3ème Math + Sc
Exercice 1 :
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ).
Dans tout l’exercice P \ {O} désigne le plan P privé du point origine O.
1) On prend comme pré-requis les résultats suivants :
Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg (zz’) = arg (z) + arg (z’) à 2kπ près, avec k entier relatif.
Pour tout vecteur non nul d’affixe z on a : arg (z) = () à 2kπ près, avec k entier relatif.
a) Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que : arg = arg(z) – arg(z’) à 2kπ près, avec k entier relatif.
b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, on a : à 2kπ près, avec k entier relatif.
2) On considère l’application f de P\ {O} qui, au point M du plan d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par : z’ = . On appelle U et V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.
a) Démontrer que pour z ≠ 0, on a arg (z’) = arg (z) à 2kπ près, avec k entier relatif.
En déduire que, pour tout point M de P \ {O} les points M et M’ = f(M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O.
b) Déterminer l’ensemble des points M de P \ {O} tels que f (M) = M.
c) M est un point du plan P distinct de O, U et V ; on admet que M’ est aussi distinct de O, U, et V.
Etablir l’égalité
En déduire une relation entre arg et arg
3) a) Soit z un nombre complexe tel que z ≠ i et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si est un nombre réel non nul.
b) Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

Exercice 2 :
Partie A :
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivantes :

(ii) Pour tous nombres réels a et b :

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations