Option
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Diff´rences finies caract´ristiques e e pour les options asiatiquesFran¸ois Dubois c
1)
Introduction.
• Une option d’achat donne le droit, mais pas l’obligation, d’acheter une action de mani`re diff´r´e tout en se garantissant sur son prix. La d´termination e ee e du prix des options est un probl`me complexe, qui donne lieu, apr`s mod´e e e lisation stochastique ` l’aide du mouvement brownien, ` la r´solution d’´quaa a e e tions aux d´riv´es partielles depuis le travail fondateur de Black-Scholes [BS73] e e et Merton [Me73]. Nous renvoyons le lecteur ` l’ouvrage de Lamberton et a Lapeyre [LL92] pour une introduction aux m´thodes du calcul stochastique e appliqu´ ` la finance et une description de l’analyse math´matique qui conduit ea e a ` des mod`les d´terministes. e e • Les options asiatiques introduisent une moyenne du prix de l’action au cours du temps, afin de contrer certaines sp´culations. Dans ce cas, l’´quation e e continue ` r´soudre a ´t´ mise en ´vidence il y a quelques ann´es par Rogers et a e ee e e Shi [RS95]. Apr`s un pr´traitement naturel destin´ ` faire s’´couler le temps e e ea e du pass´ vers le futur, l’´quation aux d´riv´es partielles ` r´soudre s’´crit dans e e e e a e e une premi`re approche : e ∂u 1 ∂u 1 2 2 ∂ 2 u (1) + rx+ − σ x = 0 , x > 0, t > 0 , ∂t T ∂x 2 ∂x2 (2) u(0, x) = 0 , x ≥ 0 , 1 (3) u(t, 0) = 1 − e−r t , t ≥ 0 . rT Conservatoire National des Arts et M´tiers, fdubois@cnam.fr, e janvier 2003, mai 2003, ´dition 26 janvier 2005. e 1
Les grandeurs r, σ et T sont strictement positives ; r est le taux d’int´rˆt ee (r 2% ` 15% typiquement), σ la volatilit´ de l’action (σ 5% a 20% dans a e ` les applications) et T l’horizon du probl`me (T = 1 [an] par exemple). On e se propose de calculer avec grande pr´cision (quatre chiffres significatifs !) le e nombre u(T, x) pour une valeur arbitraire x positive du “sous-jacent”.
2)
Reformulation caract´ristique. e
e e • Comme le montre le travail de Leli`vre [Le2k], le probl`me