 Exercice n°1 :
Trois wagons de chemin de fer de charge utile limitée à 100 quintaux sont réservés pour transporter 16 caisses. Les caisses et leurs poids en quintaux sont renseignés dans le tableau ci-dessous :
Caisse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Poids 34 6 8 17 16 5 13 21 25 31 14 13 33 9 25 25

Comment affecter les caisses aux wagons de façon à respecter les charges utiles maximales ET à minimiser la charge du wagon le plus chargé ?

Cette variable est Booléenne, c'est-à-dire qu’elle peut prendre 2 valeurs :
- Soit elle vaut 1 lorsque la caisse est présente dans le wagon
- Soit elle vaut 0 lorsque la caisse n’est pas dans le wagon

On obtient ainsi le système suivant :
C11 + C12 + C13 = 1 ( La caisse est présente 1 unique fois sur 1 des 3 wagons)
C21 + C22 + C23 = 1
C31 + C32 + C33 = 1 (…)
C14 1 + C14 2 + C14 3 = 1
C15 1 + C15 2 + C15 3 = 1
C16 1 + C 16 2 + C16 3 = 1

De plus, on sait que chaque wagon ne peut contenir au maximum que 100 quintaux.
Soit W1, W2, W3 respectivement les poids des wagons 1, 2 et 3, on obtient alors, avec les notations précédentes et en affectant les pondérations de chaque caisse :

W1 = C11 x 34 + C21 x 6 +C31 x 8 +(…) + C14 1 x 9 + C15 1 x 25 + C16 1 x 25 ≤ 100 quint

W2 = C12 x 34 + C22 x 6 +C32 x 8 +(…) + C14 2 x 9 + C15 2 x 25 + C16 2 x 25 ≤ 100 quint

W3 = C13 x 34 + C23 x 6 +C33 x 8 +(…) + C14 3 x 9 + C15 3 x 25 + C16 3 x 25 ≤ 100 quint

Le poids total ne peut donc excéder 300 quintaux. Lorsqu’on effectue la somme des poids de chaque caisse, on obtient 295 quintaux donc ce problème à bien une solution.

Dans l’énoncé, il est demandé de minimiser la charge du wagon le plus chargé. Cela signifie donc qu’il faut répartir les 295 quintaux de charge des caisses de manière la plus équitable possible.

On cherche donc :

min (z) = { IW1-W2I + IW2-W3I + IW3-W1I }

2. Résolution avec Excel :

Nous allons maintenant résoudre