M1 MMSES

Outils pour la modélisation stochastique
Gabriel Lang UMR 518 MIA,AgroParisTech-INRA
10 octobre 2011

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Introduction

Ce document présente un ensemble de modèles aléatoires couramment utilisés. Il est construit pour servir de repère avant de se reporter à des ouvrages spécialisés sur des modèles particuliers. La notion principale introduite est la notion de dépendance entre variables aléatoires, qui confère une structure aux phénomènes aléatoires. Les modèles présentés ici sont intermédiaires entre deux archétypes : le modèle déterministe où toutes les conditions sont contrôlées et les prévisions certaines et le modèle de hasard parfait où aucune prévision n'est possible comme dans les tirages successifs d'un dé.

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Prérequis

La lecture de ce document nécessite d'être familiarisé avec les notions élémentaires d'algèbre linéaire, de probabilité et de statistiques. En algèbre linéaire, doivent être connus les applications linéaires, les opérations matricielles ainsi que les formes quadratiques positives et les résultats de diagonalisation des matrices symétriques. En probabilité, il est nécessaire de connaître les notions d'espace probabilisé, de variable aléatoire, de loi de probabilité discrète et continue d'une variable et d'un couple de variables, de calculs de moments et d'indépendance de variables aléatoires. Pour la partie statistique, une connaissance élémentaire de l'estimation et de la régression linéaire est susante.

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Rappels

3.1 Variable aléatoire
On rappelle qu'un espace probabilisé (Ω, A, IP) se compose d'un ensemble Ω, d'un ensemble A (appelé tribu) de parties de Ω appelées événements, stable par intersection, union innie et complémentarité et d'une mesure positive IP de masse 1. où B est la tribu de IR engendrée par les intervalles ouverts. Une fonction f est dite mesurable si toute image réciproque par f d'une partie de IR appartenant à B appartient à A.

Dénition 1. Une variable aléatoire réelle X