Mécanique TP/TD/DM
PORTRAITS DE PHASE ET NON LINÉARITÉ
∼ · ∼
1 — Oscillateur harmonique
On considère dans un référentiel galiléen un système masse-ressort dont l’axe d’oscillation coïncide avec la direction −→ux dans une base cartésienne. La po- sition x = 0 correspond à la position au repos du ressort. Sur la masse (m =
1 kg) ne s’exerce que la force de rappel du ressort de raideur k = 102 N ·m−1.
On écrit en conséquence la force :
−→
F = −k x−→ux
Le ressort est initialement écarté de l’équilibre …afficher plus de contenu…

La po- sition x = 0 correspond à la position au repos du ressort. Sur la masse
(m = 1 kg) s’exercent :
• force de rappel du ressort de raideur
−→
F1 = −k x−→ux
• une force de frottement fluide :
−→
F2 = −γ ẋ−→ux où k = 102 N ·m−1 est la raideur du ressort et γ est un coefficient de frottement fluide. Le ressort est initialement écarte de sa position initiale (x(0) = x0) et lâché sans vitesse initiale.
a) · Déterminer la dimension de γ et son unité dans les unités du base du
Système International.
b) · Établir l’équation du mouvement et montrer qu’elle peut être mise sous la forme : ẍ+ ω0
Q
ẋ+ ω2
0 x = …afficher plus de contenu…

. .
) −→ux où k est la raideur ordinaire et α, β, etc. sont des coefficients traduisant la non- linéarité de la force de rappel.
a) · Sur la base d’arguments simples mais bien fondés, expliquer pourquoi on peut éliminer les puissances paires de x dans l’expression de
−→
F .
Dans la suite, on admet que la correction la plus faible que l’on puisse apporter est telle que la force s’écrit :
−→
F = −
(
k x+ β x3
) −→ux où k est la raideur classique du ressort et β caractérise la non-linéarité de cette force. b) · Déterminer la dimension et l’unité de β.
c) · Montrer qu’il existe une longueur λ qui permet de déterminer si les effets linéaires ou non-linéaires prédominent l’un sur l’autre. On expri- mera λ en fonction de k et