Parallélisme et orthogonalité dans l'espace
A. Parallélisme dans l'espace
1- Droite parallèle à un plan
Pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il suffit qu'elle soit parallèle à une droite du plan.
Hypothèses : d' - la droite d est incluse dans le plan P
- les droites d et d' sont parallèles d P

Conclusion :
La droite d est parallèle au plan P.

2- Plans parallèles
Pour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un d'entre eux contienne deux droites sécantes parallèles à l'autre.
Hypothèses : d1 d2
- le plan P' contient les droites sécantes d1 et d2
- les droites d1 et d2 sont parallèles à P
P'
Conclusion :
Le plan P' est parallèle au plan P.
P

3- Transitivité du parallélisme
Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
De même :
Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.
Attention
Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèle entre elles.
De même, deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre eux. 4- Plan coupant deux plans parallèles
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant les coupe suivant des droites parallèles.

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Q

Hypothèses :
P

P et P' sont deux plans parallèles.
Le plan Q coupe P suivant la droite d et P' suivant la droite d'.

d

P'

Conclusion :
Les droites d et d' sont parallèles.

d'

5- Théorème du toit
Si deux plans sécants contiennent des droites parallèles, alors leur intersection est parallèle à ces droites. (théorème du toit)

Hypothèses :
P et P' se coupent suivant la droite D;
P contient la droite d et P' contient la droite d'; d et d' sont parallèles.

d

P

D

P'

Conclusion :
La droite D est parallèle aux droites d et d'.

d'

B. Orthogonalité dans l'espace
1- Droites perpendiculaires et droites orthogonales
On dit que deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit. Remarque : deux droites perpendiculaires sont