Polynésie 2005 EXERCICE I: PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D'UNE MINUTERIE (7,5points)
CORRECTION

I – Étude du circuit RC

1. voir schéma
2. D'après la loi d'additivité des tensions:
E = uAB + uBD
E = uR + uC

Loi d'Ohm: uAB = R.i

i = [pic] et q = C.uC(t) soit i = [pic], C étant une constante alors i = C. [pic]
E = RC. [pic]+ uC(t) équation différentielle de la charge du condensateur
3.a) uC(t) = A (1 – e–t/() = A – A.e–t/( soit [pic]=[pic].e–t/( insérons ces expressions dans l'équation différentielle:
E = RC. [pic].e–t/( + A – A.e–t/(
E – RC. [pic].e–t/( = A – A.e–t/(
Pour que cette égalité soit vérifiée, il faut: A = E et RC. [pic] = A soit [pic]= 1 donc ( = RC

3.b) L'équation différentielle établie est : E = RC. [pic]+ uC(t).
En régime permanent, uC(t) est constante, donc [pic]= 0. Il vient E = uC(t). Donc uC = 30 V.

3.c) ( est appelée constante de temps.
R = [pic] C = [pic] Soit [R×C] = [pic]
Or I = [pic] soit [I] = [Q].[T]–1 [R×C] = [T] donc RC est homogène à un temps.
( s'exprime en secondes (s).
4.

5. ( = R.C
( = 100(103 ( 200(10–6 = 20,0 s

6.a) uC(t0) = Ul = E.( 1– [pic])
[pic] = 1 – [pic]
[pic] = 1 – [pic]
[pic] = [pic]
[pic]= [pic]
[pic] = ln [pic] t0 = (. ln [pic]
6.b) t0 = 20,0 ( ln [pic] = 22 s graphiquement, on vérifie que pour t = t0 on a bien uC = Ul.
6.c) D'après le graphe de uc(t), uc varie très peu dans la partie où t0 >> (. La comparaison entre uc et Ul devient imprécise, ainsi l'allumage de la lampe n'aura pas la même durée à chaque fois.

7. t0 [pic](. Si on augmente R ou C, alors ( augmente. La durée d'allumage de la lampe augmente.
Constante de temps d'une minute: ( = R.C soit R = [pic] R = [pic]= 3.102 k(

8.a) Lorsqu'on appuie sur le bouton poussoir, on court-circuite le condensateur (décharge instantanée), alors uC = 0 V. On a uC < Ul .
Si la lampe est déjà allumée: la lampe reste allumée, et on a ainsi remis la minuterie à zéro.
Si la lampe est