Suites et séries numériques de PCSI
I - Généralités sur les suites numériques
On appellera suite réelle tout élément de RN .

1) Convergence — Unicité de la limite
Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε.

Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie.
Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente.
On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement si

∀A > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ un ≥ A (resp. un ≤ −A).

Attention ! Dans le cas où (un ) admet pour limite ±∞, (un ) est divergente.

2) Composition de limites
Soient f une fonction numérique et (un )n∈N une suite réelle telle que un soit dans l’ensemble de définition de f à partir d’un certain rang.
Si (un )n∈N converge vers a et si f admet une limite ℓ en a, alors la suite f (un )
Si (un )n∈N converge vers a et si f est continue en a, alors la suite f (un )

n∈N

n∈N

converge vers ℓ.

converge vers f (a).

3) Convergence et relation d’ordre
a) Passage à la limite dans une inégalité
Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang, un ≤ vn , alors lim (un ) ≤ lim (vn ).

Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le paragraphe suivant).
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Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf. ∀n ∈ N∗
> 0). n b) Théorème d’encadrement
Soient (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N trois suites réelles telles que :
• à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn ;

• (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers une même limite ℓ.

Alors (vn )n∈N converge également vers ℓ.
Attention ! Ce n’est pas le cas sans l’hypothèse de la limite commune à (un )n∈N et (wn )n∈N
(cf. ∀n ∈ N − 1 ≤ (−1)n ≤ 1).
NB : Ce résultat permet d’établir la