TS MATHPH
QÇ. : 1) Donner les définitions suivantes a) Dans N, b est un diviseur de

MATHEMATIOUES : DSl (SPE)

Le 15110/2tl}

b) pgcd(a ;b) 2) Enoncer le théorème de la division euclidienne puis le démonher (si possible) 3) Enoncer le théorème de Bezout, puis le théorème de GAUSS et le démontrer .

a;

:

.

Exercice 1 :1o)Ondonneledéveloppement (a+b)s
Une expression développée de (n + naturel

=et +5aob+1\a3b2 +lAazb3

+Saba +às endéduire

l)t,

puis démontrer par récurrence que pour tout entier

f,

tr5

-n

est divisible par 5.

2o) Déterminer tous les couples d'entiers

(x,y)tels que 5x * y

-

7.

Exercice 2

:

Déterminer le reste de la division euclidienne de Supérieur ou égal à 5).

n' - 5n par 3 ( n désigne

un entier naturel

Exercise 3: 1) o) Déterminer le reste do;ns lo dtviston euclidienne de 2009 par t1 . b) Déterminer le reste dans la d.ivision euclidtenne de 27o par LL. c) Dëterminer le reste dans Ia division eucltdtennu 41 22a0e + 2009 par Lt. 2) On déstgne par p unnombre entier naturelOn considère pour tout entter naturelnonnltln, le nombre: An = 2" * p . Onnote dole PGCD de An et An*1. a) Montrer que dn divtse 2n. b) Déterminer la parité de An en f onction de celle de p . Justif ier. c) Dans cette question,toute trace de recherche ,mhne incomplète,ou d'inttiative mëme nan f ructueus e, s er q. pr i s e en c ompte dans I' év aluat ton. Détermtner laparité de dnen f onction de celle de p. 22010 + 2009. En déduire te PGCD 4" 220ae + 2009

"s

BON TRA'|/AIL !