Universit´ Mohammed V - Agdal e Facult´ des Sciences e D´partement de Math´matiques et Informatique e e Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc

.:: Module Math´matiques I : Alg`bre ::. e e

Fili`re : e Sciences de Mati`re Physique (SMP) e et Sciences de Mati`re Chimie(SMC) e

Chapitre III: Polynˆmes sur R et C o Chapitre IV: Fractions rationnelles

Par Prof: Jilali Mikram Groupe d’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma

Ann´e : 2005-2006 e

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TABLE DES MATIERES
1 Polynˆmes o 1.1 Pr´sentation des polynˆmes . . . . . . . . e o 1.2 Lois sur k[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . 1.4 Z´ros d’un poynˆme . . . . . . . . . . . . e o 1.5 Polynˆme d´riv´ . . . . . . . . . . . . . . o e e 1.6 Formules de Mac-Laurin et de Taylor . . . 1.7 Ordre de multiplicit´ d’une racine . . . . . e 1.8 Th´or`me de d’Alembert . . . . . . . . . . e e 1.9 Division suivant les puissances croissantes 3 3 4 5 7 7 10 11 12 13 14 14 15 17 19

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2 Fractions rationnelles 2.1 Degr´, partie enti`re . . . . . . . . . . . e e 2.2 Pˆles et partie polaires . . . . . . . . . . o 2.3 D´composition en ´l´ments simples . . . e ee 2.4 Pratique de la d´composition en ´l´ments e ee

. . . . . . . . . . . . . . . simples

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Chapitre 1 Polynˆmes o
1.1 Pr´sentation des polynˆmes e o

D´finition 1.1.1 On se place sur un corps commutatif k. Un polynˆme est e o d´fini par la donn´e de ses coefficients a0 , , ..., an ´l´ments de k. X ´tant e e ee e une lettre muette, on note P (X) = a0 + a1 X + ...an X n ou ak X k , ´tant e k≥0 entendu que la somme ne comporte qu’un nombre fini de ak non nuls. On distingue