Polynom et fraction

Pages: 26 (6295 mots) Publié le: 18 mai 2013
Universit´ Mohammed V - Agdal e Facult´ des Sciences e D´partement de Math´matiques et Informatique e e Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc

.:: Module Math´matiques I : Alg`bre ::. e e

Fili`re : e Sciences de Mati`re Physique (SMP) e et Sciences de Mati`re Chimie(SMC) e

Chapitre III: Polynˆmes sur R et C o Chapitre IV: Fractions rationnelles

Par Prof: Jilali Mikram Grouped’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma

Ann´e : 2005-2006 e

1

TABLE DES MATIERES
1 Polynˆmes o 1.1 Pr´sentation des polynˆmes . . . . . . . . e o 1.2 Lois sur k[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . 1.4 Z´ros d’un poynˆme . . . . . . . . . . . . e o 1.5 Polynˆme d´riv´ . . . . . . . . . . . . . . oe e 1.6 Formules de Mac-Laurin et de Taylor . . . 1.7 Ordre de multiplicit´ d’une racine . . . . . e 1.8 Th´or`me de d’Alembert . . . . . . . . . . e e 1.9 Division suivant les puissances croissantes 3 3 4 5 7 7 10 11 12 13 14 14 15 17 19

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2 Fractions rationnelles 2.1 Degr´, partie enti`re . . . . . . . . . . . e e 2.2 Pˆles et partie polaires . . . . . . . . . . o 2.3 D´composition en ´l´ments simples . . . e ee 2.4 Pratique de la d´composition en ´l´ments e ee

. . . . . . . . . . . . . . . simples2

Chapitre 1 Polynˆmes o
1.1 Pr´sentation des polynˆmes e o

D´finition 1.1.1 On se place sur un corps commutatif k. Un polynˆme est e o d´fini par la donn´e de ses coefficients a0 , , ..., an ´l´ments de k. X ´tant e e ee e une lettre muette, on note P (X) = a0 + a1 X + ...an X n ou ak X k , ´tant e
k≥0

entendu que la somme ne comporte qu’un nombre fini de ak non nuls. On distingue parfoisle polynˆme P (X) (qui, par construction, est nul si et o seulement si tous ses coefficients sont nuls (*)) de la fonction polynˆmiale o associ´e: e P : k −→ k x −→ a0 + a1 x + ...an xn = P (x) Celle-ci est nulle si et seulement si : ∀ x ∈ k, P (x) = 0(**) On a bien ´videmment l’implication : e P (X) = 0 =⇒ ∀x ∈ k, P (x) = 0. Mais la r´ciproque est loin d’ˆtre ´vidente. Nous allons montrer que, e ee lorsque k est ´gal ` R ou C, il y a ´quivalence, ce qui permet de confondre e a e polynˆme et fonction polynˆmiale. La phrase P = 0 gardera cependant de o o pr´f´rence le sens (*). ee Proposition 1.1.1 :

3

i) Soit P un polynˆme ` coefficients dans R ou C. Alors si la fonction o a polynˆmiale associ´e ` P est identiquement nulle. P a tous ses coefficients o e a nuls. ii) Soit P et Q deuxpolynˆmes dans R ou C. Alors, si les fonctions o polynomiales associ´es sont ´gales (prennent les mˆmes valeurs), les deux e e e polynˆmes sont ´gaux (ont leurs coefficient ´gaux). o e e D´monstration: e i) k contenant R, nous supposons que la variable x ne prend que des valeurs dans R. Soit P =
k≥0

ak X k tel que ∀ x ∈ k, P (x) = 0

Alors, pour x = 0, on obtient a0 = 0. Donc: ∀ x ∈ R , a1 x + ...+ an xn = 0 =⇒ ∀ x = 0 , a1 + ... + an xn−1 = 0 On ne peut plus prendre x = 0, cependant, on peut prendre la limite lorsque x tend vers 0, ce qui donne a1 = 0, etc... ii) se prouve en appliquant i) ` P − Q. a Si P = 0, on appelle degr´ de P le maximum des k, tels que ak = 0. Si e P = 0 , on pose deg(P ) = −∞ Si P est de degr´ n, an X n est le terme (ou monˆme) dominant. Si an = 1, e o le polynˆmeest dit unitaire ou normalis´. o e On note k [X] l’ensemble des polynˆmes sur le corps k. o

1.2

Lois sur k[X]
bk X k , alors P + Q =
k≥0 k≥0

a) Somme de deux polynˆmes: o Si P = ak X k et Q =
k≥0

(ak + bk )X k

On a : deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q). L’´galit´ a lieu si les polynˆmes e e o sont de degr´s diff´rents, ou s’ils sont de mˆme degr´ et que les termes e e e e de...
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