Polynome

Pages: 78 (19457 mots) Publié le: 6 janvier 2013
Introduction aux Math´matiques Financi`res e e

Ecole Centrale Paris Deuxi`me ann´e, S3 e e
Lionel Gabet, Fr´d´ric Abergel, Ioane Muni Toke e e Version 2010

Introduction aux math´matiques financi`res e e

2

Table des mati`res e
I Produits et march´s financiers e
produits financiers classiques Les actions et les indices . . . . . Les obligations . . . . . . . . . . Les swaps . . . . .. . . . . . . . Les forwards et les futures . . . . Les options . . . . . . . . . . . . Les produits structur´s . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
9 9 11 12 13 14 14

1 Les 1.1 1.2 1.31.4 1.5 1.6

2 Les options 17 2.1 Les options sur actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Les diff´rents types d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 e

II

Mod`les financiers e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
25 25 25 26 27 27 27 28 29 29 30 30 31

3 Objectifs et principes 3.1 L’approche classique . . . . . . . . . . 3.1.1 Les objectifs . . . . . . . . . . . 3.1.2 Les outils de mod´lisation . . . e 3.1.3 Les hypoth`ses sur les march´s e e 3.2 La finance quantitative . . . . . . . . . 3.2.1 La physique des march´s . . . . e 3.2.2 Les risques etleur minimisation

4 Rappels sur les processus al´atoires et premi`res applications en e e finance 4.1 Danger de l’´valuation par actualisation de l’esp´rance des flux futurs e e 4.2 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.2.2 Comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3

Introduction aux math´matiques financi`res e e 4.3 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.3.2 Mesurabilit´ d’un processus . . . . . . e Esp´rance conditionnelle . . . . . . . . . . . . e Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prix actualis´s, martingales et rendements . . e Arbitrage et applications . . . . . .. . . . . . 4.7.1 Arbitrages et march´s viables . . . . . e 4.7.2 AOA et applications . . . . . . . . . . Une premi`re obtention de la formule de Black e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3132 32 33 34 34 34 35 37 39 39 40 40 40 40 41 42 42 42 42 43 43 44 44 44 44 45 45 45 46 46 48 48 49 49 49 49 50

4.4 4.5 4.6 4.7

4.8

5 Evaluation par arbitrage en temps discret – Le mod`le binomial e 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Un mod`le financier ` plusieurs p´riodes . . . . . . . . . . . . . . . e a e 5.2.1 Actifs financiers . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Strat´gies (de trading) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.3 Actif sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Strat´gies autofinanc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5.3 Opportunit´s d’arbitrage et probabilit´ martingale . . . . . . . . . . e e 5.3.1 D´finition d’une oppportunit´ d’arbitrage . . . . . . . .. . . e e 5.3.2 D´finition d’une probabilit´ martingale . . . . . . . . . . . . e e 5.3.3 Th´or`me fondamental de l’´valuation par arbitrage . . . . . e e e 5.4 March´ complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.4.1 Options et strat´gie de “r´plication” . . . . . . . . . . . . . e e 5.4.2 D´finition d’un march´ complet . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5.4.3 Second...
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