Polynômes factoriels
On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X .
Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n .
Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) .
Partie I
1.a

Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] .

1.b

On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) .
On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) .

2.

Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆ au départ de ℝ n [X ] .

2.a

Justifier que ∆n est un endomorphisme de ℝ n [X ] .

2.b

Déterminer le noyau de ∆n .

2.c

Déterminer le rang puis l’image de ∆n .

3.a

Déduire de la question précédente que l’endomorphisme ∆ est surjectif.

3.b

Justifier : ∀P ∈ ℝ [X ], ∃!Q ∈ ℝ [X ] tel que ∆(Q ) = P et Q (0) = 0 .
On définit alors une application ∇ : ℝ [X ] → ℝ [X ] en posant ∇(P ) = Q .

Rq :

Le symbole ∇ se lit « nabla »

3.c

Montrer que ∇ est un endomorphisme de ℝ [X ] .

3.d

Observer que ∀P ∈ ℝ [X ], ∀p ∈ ℕ, ∑ P (i ) = ∇(P )(p + 1)

p

i =0

Partie II
On pose :

P0 = 1 , P1 = X , P2 =

X (X −1)
X (X −1)...(X − m + 1)
1 m−1
,…, Pm =
= ∏ (X − k ) pour m ∈ ℕ .
2!
m! m ! k =0

On définit par récurrence ∆k pour k ∈ ℕ , en posant ∆0 = Id puis pour tout k ∈ ℕ , ∆k +1 = ∆ ∆k .
1.a

Calculer ∆(P0 ) et ∆(Pm ) en fonction de Pm −1 pour tout m ∈ ℕ∗ .

1.b

Pour k , m ∈ ℕ . Exprimer ∆k (Pm ) selon que k ≤ m ou k > m .

1.c

Enfin, exprimer ∆k (Pm )(0) en discutant selon les valeurs de k , m ∈ ℕ .

2.a

Justifier que la famille B = (P0 , P1 ,…, Pn ) est une base de ℝ n [X ] .

2.b

En déduire que ∀P ∈ ℝ [X ], P = ∑ ∆m (P )(0)Pm .

n

m =0

2.c

Exprimer alors ∇(P ) en fonction des ∆m (P )(0) et des Pm .

3.

Application :

3.a

Déterminer, sous forme factorisée ∇(X 3 ) .

3.b

En déduire l’expression de

m

∑i i =0

3

.