Le second degré
-I- Polynôme : définition :
Exemples :
On appelle polynômes une expression de la forme axn+bxn−1+cxn−2+dxn−3+⋯+αx2+βx+γ où a, b, c,d, ..., α , β , γ sont des réels donnés appelés coefficients du polynôme et x est un réel variable.
Le plus grand exposant attribué à la variable x, ici n, est appelé degré du polynôme. x4+3 x2+1 est un polynôme de degré 4, 5
−0 5 x 4 est aussi un polynôme de degré 4 dans ce cas on l'appellera monôme de degré 4, −2 x+3 est un polynôme de degré 1, x4+ 3 +1 n'est pas un polynôme. 5x2
Pour des raisons pratiques (calculs, résolution d'équation, ...) on essaiera de factoriser ces polynômes le plus possible. Mais, attention, ce n'est pas toujours possible dans R.
Les valeurs qui annulent un polynôme, si elles existent sont appelées zéros du polynôme ou racines du polynôme.
Exemples :
Le polynôme de degré 3 : x3−150 x+625 est factorisable : x3−150 x+625=(x−5)(x2+5 x−125), maislepolynômededegré2: x2+5x−125 n'estpasfactorisabledansR.
Le polynôme de degré 3 : x3−150 x+625 admet un zéro : 5 car 53−150×5+625=125−750+625=0 . n'est pas factorisable dans les réels, ce polynôme n'admet pas de zéros dans les réels. −2 x+3 est déjà factorisé, il admet un zéro, 3 .
2
Lepolynômededegré4 2x4+3x3−49x2−75x−25 estfactorisableen(x+1)(x−5)(x+5)(2x+1)etadmet quatrezéros: −1, −5, −1 et 5. 2
En analyse, on étudiera des fonctions polynômes, par exemple : f (x)=x4+3 x2+1 . 5
-II- Fonction polynôme de degré 2 : propriété : x→ax2+bx+c ,
(− b ; f (− b ))Dans un repère orthogonal, la parabole admet un axe de symétrie : la droite
La fonction polynôme de degré 2, appelée aussi trinôme, : f : avec a, b, c réels, a≠0 .
Elle est représentée par une parabole dont le sommet S a pour coordonnées
2a 2a passant par S parallèle à l'axe des ordonnées d'équation x=− b .
2a
Si a>0 alors la parabole a ses branches orientées vers le haut, elle admet alors un minimum au
−b 2a point d'abscisse ,
si