APPLICATIONS

Chapitre III

III.1 Problème 3-SAT
III.1.1 Présentation du problème
Le problème 3-SAT est une variante du problème SAT. C’est un problème de décision qui se préoccupe de la satisfiabilité d’une forme normale conjonctive dont les clauses sont la disjonction de trois littéraux.

III.1.2 Preuve de la NP-complétude de 3-SAT [5]
Le problème 3-SAT est un problème NP car il est décidable en temps polynomial par une machine de Turing non déterministe. Nous Pour prouver son NP-complétude, il ne reste plus qu’à lui réduire SAT. Soit un ensemble de l’ensemble de ces littéraux et soit disjonctions de littéraux, la conjonction des clauses :

On construit un ensemble de clauses à trois littéraux appartenant à . littéraux incluant les littéraux de ainsi que des littéraux supplémentaires.

l’ensemble des

On considère les littéraux de et on remplace chaque de . Les sont obtenues selon la procédure suivante : Si -la ième clause- contient un seul littéral de , on ajoute donc deux littéraux :

par la conjonction des clauses

et on obtient:

D’où

Si

contient deux littéraux de

: et on obtient:

, on ajoute donc un littéral

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APPLICATIONS

Chapitre III

D’où :

Si

contient trois littéraux de

:

on n’ajoute donc aucun littéral et on a :

D’où :

Si

contient plus de trois littéraux de

-au pire tout les littéraux de - : et on

, on ajoute les littéraux obtient l’ensemble :

D’où :

Prouvons maintenant que se présentent :

est satisfiable si et seulement si

est satisfiable. Les cas suivants

- Pour

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APPLICATIONS Clauses satisfaites 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 Toutes Toutes Toutes Toutes Aucune Aucune Aucune Aucune Clauses insatisfaite

Chapitre III

Tableau III.1 : satisfiabilité et insatisfiabilité des clauses de ses littéraux pour Donc et satisfiable si et seulement si satisfiable. - Pour

selon les valeurs de vérité de

, et donc si et seulement si

est

Clauses