Produit Scalaire Dans L Espace
9868 mots
40 pages
11CHAPITRE
Produit scalaire dans l’espace
ACTIVITÉS
(page 320)
Activité 1
Activité 2
1 a) D, F, O et B sont des points du rectangle BDHF. Ils sont donc coplanaires.
O
H
F
1
1 a) UAH = UBG ; donc l’angle géométrique de UAF et UBG est celui de UAF et UAH.
b) Le triangle AFH est équilatéral ; donc, l’angle géomép trique vaut .
3
2 a) A(1 ; 0 ; 0), F(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 1 ; 0) et G(0 ; 1 ; 1).
Les vecteurs UAF et UBG ont pour coordonnées :
B
ͱස2
b) • UBO · IDF = UBO · 1 UDH + UHF 2 = UBO · IDH + UBO · UHF.
110476_c11_prof_fig01
Le vecteur UBO se projette orthogonalement sur (DH) suivant IDH. Donc UBO · IDH = DH2.
• De même, avec la projection orthogonale :
UBO · UHF = UFO · UHF,
12
× 12 = 0. on obtient : UBO · UDF = DH2 – UOF · UHF = 1 –
2
Donc au et av sont orthogonaux.
2 a) Soient les coordonnées F(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 1 ; 0) et
H(0 ; 0 ; 1).
O est le milieu de [HF] ; donc O a pour coordonnées :
1 1 ; ; 1 .
2 2
1
1
b) UDF(1 ; 1 ; 1) et UBO – ; – ; 1 .
2
2
1 1 xx’ + yy’ + zz’ = – – + 1 = 0.
2 2 xx’ + yy’ + zz’ est la forme analytique du produit scalaire
UDF · UBO.
c) • (AC) est perpendiculaire à (DB) et (BF) donc au plan
(DBF). Il en résulte que (AC) est perpendiculaire à toute droite du plan (DBF) donc en particulier à (BH).
• A a pour coordonnées (1 ; 0 ; 0), C(0 ; 1 ; 0). Donc UAC a pour coordonnées (– 1 ; 1 ; 0) et UBH(– 1 ; – 1 ; 1) ; donc : xx’ + yy’ + zz’ = 0.
Les droites (BH) et (AC) sont perpendiculaires.
1
1
2
2
UAF(0 ; 1 ; 1) ; UBG(–1 ; 0 ; 1).
b) • xx’ + yy’ + zz’ = 1 ; AF = 12 ; BG = 12. xx’ + yy’ + zz’ 1
= .
AF × BG
2
• On fait le lien avec le produit scalaire dans le plan ; soit :
UAB · UAC = AB × AC × cos q.
3 a) UAD = UBC ; donc l’angle géométrique associé aux vecteurs UBH et UAD est l’angle DCBH.
b) Le triangle CBH est tel que :
BH = 13 ; BC = 1 et CH = 12.
De plus, le triangle BCH est rectangle en C.
B

1
C
ͱස3
ͱස2
© Nathan 2012 – Transmath Term. S
D
H
1
110476_c11_prof_fig02
• cos DCBH = cos(b)
=
, donc Q B ≈ 54°7.
13