Suites |

Chapitre 1 : Généralités sur les suites

I – Suite arithmétique

a. Définition par récurrence

r = raison n = entier naturel

Suite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. La différence est la raison.

b. Terme général

Uo = premier terme de la suite

p et m = entiers naturels

Sommes des premiers entiers consécutifs :

II – Suite géométrique

a. Définition par récurrence

q = raison n = entier naturel

b. Terme général

c. Somme de termes consécutifs

III – Variation d’une suite

a. Cas général

: la suite est croissant

: la suite est décroissante

La suite est monotone si croissante ou décroissante.

: la suite est constante

Soit p un entier naturel. Si :

La suite est alors croissante à partir du rang p.

b. Cas des suites géométriques

Soit q un réel, si :

. 0 < q < 1, alors q^n est strictement décroissante
. q > 1 alors q^n est strictement croissante
. q = 1 alors q^n est constante
. q < 0 alors q^n n’est pas monotone.

Conséquences :

Soit (Un) une suite géométrique de raison q (strictement positive) et de terme initial Uo :

Si 0<q<1 : si Uo<0, alors Un est strictement croissante si Uo>0, alors Un est décroissante

Si q>1 : si Uo<0, alors Un est strictement décroissante si Uo>0, alors Un est strictement croissante

Si q=1 : alors la suite Un est constante

IV – Limite de suite de terme général (q^n)

Soit q un réel strictement positif :

. Si 0<q<1 alors la suite q^n a pour limite 0 (elle converge vers 0)
. Si q>1 alors la suite (q^n) n’a pas de limite (elle diverge vers +infini)

Soit q un réel tel que 0<q<1 :

Alors la suite u est définie par la somme Un=1+q+q^2+…+q^n est strictement croissante et a pour limite le nombre réel