Polynômes et Fractions rationnelles

1. Généralités
Définition
Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang.

Remarque
On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈. b = (b0, b1, b2,......., bk,........) = (bn)n∈. a + b = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2,......., ak + bk,........) = (an + bn)n∈. λ.a = (λ × a0, λ × a1, λ × a2,......., λ × ak,........) = (λ × an)n∈  Si A est un corps, (S (A),+,.) est un A-e.v.  Si A est uniquement un anneau, (S (A),+,.) est dit un A-module.  Si A est un corps, S 0 (A) est un s.e.v. de (S (A),+,.).  Si A est uniquement un anneau, S 0 (A) est dit un sous-module de (S (A),+,.).  Soient les (ei)i∈ les éléments de S (A) définis par e0 = (1, 0, 0, 0, 0, ......., 0,........) e1 = (0, 1, 0, 0, 0, ......., 0,........) e2 = (0, 0, 1, 0, 0, ......., 0,........) De façon générale : en = (e n )k∈ où e n =  kn  0 si k  n. k k  1 si k  n. La famille des (ei)i∈ est une famille génératrice de S (A). En particulier, si a∈S 0 (A), cette somme est finie et a est une C.L. des (ei)i∈.

On a donc, pour tout a∈S (A), si a = (an)n∈, alors a = a0e0 + a1e1 + a2e2 +....+ anen +...  ¨ a k e k . k=0 +∞

Définition
Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. Soient a,b∈S 0 (A). On définit une loi × sur S 0 (A) par : Si a = (a0, a1, a2,......., ap,........) et b = (b0, b1, b2,......., bp,........) , alors a × b = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b0,......., cp,........)
F. Wlazinski

où cp = ¨ a k b n−k = k=0 p

i+j=n

¨ ab i j

pour tout entier p.
1

Exemple
Si a = (2, 1, 0, 0, 0, ......., 0,........) et b = (0, 1, 3, 0, 0, ......., 0,........) alors a × b = (0, 2, 7, 3, 0, .......,