Automates

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1 Sommaire
− − − − − − − − − notion d’automate, leur int´rˆt et leurs usages ; ee calculs d’un automate et langage reconnu ; d´terminisme, comment s’en dispenser, et comment s’en assurer ; e langages reconnaissables ; leurs propri´t´s de stabilit´ ; ee e langages rationnels ; le th´or`me de Kleene et le lemme de pompage ; e e expressions r´guli`res ; e e le probl`me de la minimisation e

Lyc´e Louis-le-Grand e Ann´e 2003–2004 e

Automates option informatique

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Automates

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2 Alphabet et mots
Un alphabet est un ensemble fini non vide A dont les ´l´ments sont appel´s ee e des caract`res. e e Un mot sur A est soit le mot vide, not´ ε, soit un mot de taille p : m = m1 m2 . . . mp o` chaque mi est un caract`re. u e On note la longueur (on dit aussi la taille) d’un mot ainsi : 0 = |ε|, p = |m1 . . . mp |.

3 Notations
L’ensemble des mots de longueur p se note Ap . Ap . L’ensemble de tous les mots est A = {ε} ∪ p∈N (A , .) est un mono¨ (c’est le mono¨ libre sur A), dont l’´l´ment neutre ıde ıde ee est le mot ε. La loi est ´videmment non commutative mais associative. e e e Le mot abbaaabcc peut ˆtre naturellement not´ ab2 a3 bc2 . Le miroir d’un mot m est not´ m. Par exemple : e miroir = riorim.

e e La concat´nation de deux mots est not´e par un point. Si |m| = p et |m | = q, |m.m | = p + q et le i-`me caract`re de m.m est e e mi , si i p; mi−p , si p + 1 i p + q.

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Automates

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4 Langages
(L’alphabet

5 Op´rations sur les langages e
En outre si L et L sont deux langages, leur concat´n´ est e e L.L = {m.m , m ∈ L, m ∈ L } L.L est not´ L2 , et ainsi de suite. e Nota Bene Ne pas confondre L2 et {m.m, m ∈ L}. Lp . p∈N A est suppos´ choisi une fois pour toutes.) e Un langage L est simplement un ensemble (fini ou non) de mots : l’ensemble de tous les langages est donc P(A ). On dispose donc des op´rateurs ensemblistes habituels ∪, ∩, ∆, \ et des e relations d’inclusion