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Pages: 5 (1011 mots) Publié le: 13 juillet 2014
méca
ZOOM

Caractéristiques
équivalentes d’inertie
de mécanismes courants
JACQUES LAMORA1

Dans le numéro 111 de Technologie (janvier-février
2001), Philippe Taillard et Christian Teixido proposaient
un guide de dimensionnement pour actionneurs rotatifs
et linéaires. Cet article complète les calculs de
motorisation en régime transitoire, en approfondissant
la détermination descaractéristiques de couples

J

e souhaite soumettre un petit rectificatif au tableau des
« caractéristiques équivalentes de couples et d’inertie de
mécanismes courants » (publié dans le n° 111) à propos du
rendement qui affecte, dans le tableau proposé, uniquement
le couple équivalent et pas l’inertie équivalente.
Or il semble évident, et nous allons le montrer, que dans le
cas, par exemple,du démarrage à vide (couple permanent sur
la charge nulle) d’une charge en rotation à travers un réducteur,
le couple moteur à appliquer pour mettre en rotation cette charge
d’inertie non nulle dépend du rendement du réducteur :
– pour un réducteur à mauvais rendement, le couple moteur
devra être plus important que pour un réducteur à bon rendement ;
– pour un rendement nul du réducteur,caricaturons par ce cas
extrême, il semble de bon sens que le moteur, quel qu’il soit, ne
pourra faire démarrer la charge.
Il faut donc tenir compte du rendement dans l’expression de
l’inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur.
Cela surprend de prime abord quand j’expose cet état à certains
collègues habitués à raisonner en termes d’énergie cinétique
équivalente sur les deux arbres :
2
2Jequi × ω m = Jc × ω c et donc Jequi = Jc ×

avec k =

2
ωc
2
ωm

ωm
J
rapport de transmission du réducteur, Jequi = c .
ωc
k2

Mais c’est oublier que cette écriture a pour origine le théorème
de l’énergie cinétique dans lequel il faut tenir compte du travail
des forces de frottement dans la transmission, image du rendement de cette même transmission.
Avant de proposer lesmodifications de l’expression de l’inertie équivalente pour chaque cas envisagé dans le tableau, justifions la nouvelle écriture sur un cas simple (semblable au premier cas du tableau avec un seul réducteur) :
– une charge d’inertie Jc sur l’arbre 2 de sortie du réducteur ;
– un démarrage à vide Cpc = 0 ;
– un réducteur de rendement η, de rapport de transmission
ω
k= m;
ωc
– le moteur d’inertie Jm,délivrant un couple moteur Cm sur
l’arbre 1, entrée du réducteur.
34

I

TECHNOLOGIE 116 I NOVEMBRE-DÉCEMBRE 2001

et d’inertie ramenées sur l’arbre moteur. On se rend
compte que la transmission du moteur à la charge fait
intervenir les caractéristiques des différents organes
de la chaîne cinématique, en particulier le rapport
de transmission et le rendement.
MOTS-CLÉS actionneur,automatismes, puissance, dynamique

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l’arbre
moteur 1 :

Cm – Cered = Jm × m (1)
dt
avec Cered, le couple résistant du réducteur sur l’arbre moteur.
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l’arbre 2 :

Csred = Jc × c (2)
dt
avec Cered, le couple moteur délivré par le réducteur sur l’arbre 2.
Écrivons, par ailleurs, latransmission par le réducteur avec
le rendement η :
C × ωc
η = sred
(3)
C ered × ω m
De plus, rappelons que le rapport de transmission s’exprime :
ω
k= m
ωc
et par dérivation :
dωm

= k × c (4)
dt
dt
La combinaison de ces quatre relations conduit à une relation
finale :
Jc

C m = (Jm +
)× m
2
dt
η×k
où l’inertie équivalente de la charge ramenée sur l’arbre moteurapparaît comme le terme Jequi = Jc .
η ×k2
Ainsi, nous voyons bien l’influence du rendement :
– pour un rendement faible du réducteur, l’inertie équivalente
apparaît plus importante sur l’arbre moteur et donc le couple moteur
nécessaire aussi ;
– anecdotiquement, un rendement nul nécessite un couple moteur
infini !
La démonstration aurait pu être conduite de la même façon
en utilisant le...
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