Conjecture de Goldbach : approches alg´brique et e g´om´trique bas´es sur les restes modulaires e e e
Denise Vella 1er Novembre 2008

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Introduction

La conjecture de Goldbach (1742) ´nonce que tout nombre pair 2a sup´rieur e e ou ´gal ` 4 est la somme de deux nombres premiers p et q. Le nombre p et e a le nombre q sont appel´s des d´composants de Goldbach de 2a. Cette note e e pr´sente deux visions de la conjecture de Goldbach, une vision alg´brique et e e une vision g´om´trique, toutes deux bas´es sur l’´tude des restes modulaires e e e e des entiers selon des modules premiers. Les d´composants de Goldbach d’un e entier pair 2a sont les nombres premiers inf´rieurs ou ´gaux ` a solutions de e e a syst`mes de congruence g´n´ralis´s d´coulant de cette repr´sentation. Enfin, sera e e e e e e pr´sent´e une conjecture portant sur le partage des d´composants de Goldbach e e e et qui donne ` penser que la possibilit´ d’une d´monstration de la conjecture de a e e Goldbach par r´currence pourrait ˆtre envisag´e. e e e

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Traitement alg´brique d’un exemple e

Dans une note pr´c´dente, on a pr´sent´ le choix que nous r´it´rons ici de e e e e e e repr´senter chaque entier par ses restes selon les modules premiers successifs. e Int´ressons nous au nombre entier 40, dont on cherche les d´composants de e e Goldbach. On ne va s’int´resser qu’aux restes des entiers inf´rieurs ` 20 selon e e a les modules premiers inf´rieurs ` la racine de 40, i.e. selon les modules 2, 3 et 5. e a 40 est repr´sent´ par le triplet (0(2), 1(3), 0(5)). Puisque seuls les nombres pree e miers non congrus ` 40 selon tous ces modules peuvent ˆtre d´composants de a e e Goldbach de 40, on cherche s’il existe des nombres premiers dont la repr´sentation e serait : – soit (1(2), 2(3), 1(5)), – soit (1(2), 2(3), 2(5)), – soit (1(2), 2(3), 3(5)), – soit (1(2), 2(3), 4(5)). Consid´rons le premier triplet (1(2), 2(3), 1(5)). Les solutions satisfaisant la e premi`re coordonn´e d’un tel triplet sont