Refeffe
1349 mots
6 pages
Série corrigée : Arithmétiques Exercice 1 : 1. Déterminer les restes de la division de 5p par 13 pour p entier naturel. 2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 184n−1 est divisible par 13. Correction 1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 : −1 ou 12, p = 3 : −5 ou 8, p = 4 : 1 donc pour p 4k le reste est 1, pour p 4k 1 le reste est 5, pour p 4k 2 le reste est 12 ou −1, pour p 4k 3 le reste est 8 ou −5. 2. N 314n1 184n1 : 31 2 13 5 5(13) et 18 13 1 5 5(13) ; on a doncN 314n1 184n1 54n1 54n1 (13) 54n1 54n' 3 (13) [5 8](13) 0(13) .
Exercice 2 : Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué. 1. Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6. 2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq − 1 est divisible par 2p − 1 et par 2q − 1. 3. Pour tout n de *, 2n − 1 n’est jamais divisible par 9. 4. L’ensemble des couples d’entiers solutions de l’équation : 24x + 35y = 9 est l’ensemble des couples : (−144+70k ; 99−24k) où k . 5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de centre A et de rapport 3 et g l’homothétie de centre B et de rapport
1 alors g f est la translation de vecteur AB . 3
6. Soit s la similitude d’écriture complexe z’ = iz +(1− i), l’ensemble des points invariants de s est une droite. Correction 1. Vrai : 4 002 = 2 004 1+1 998 ; 2 004 = 1 998 1+6 ; 1 998 = 6 336. Le dernier reste non nul est bien 6. q q 2. Vrai : 2 pq 1 2p 1 2p 1 ; or am 1 a 1 am1 am2 ... 1 . 3. Faux : contre-exemple : 26 −1 = 63 est divisible par 9. 4. Faux : les méthodes habituelles donnent les solutions (35k −144 ; 99−24k), k . 5. Faux : soit M un point du plan ; son image M1 par f vérifie AM1 3 AM . Puis l’image M’ de M1 par g
1 1 1 1 2 BM1 M A AB BA AM1 M A AB BA 3 AM AB . 3 3 3 3 3 6. Vrai : les points