Série corrigée : Arithmétiques Exercice 1 : 1. Déterminer les restes de la division de 5p par 13 pour p entier naturel. 2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 184n−1 est divisible par 13. Correction 1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 : −1 ou 12, p = 3 : −5 ou 8, p = 4 : 1 donc pour p  4k le reste est 1, pour p  4k  1 le reste est 5, pour p  4k  2 le reste est 12 ou −1, pour p  4k  3 le reste est 8 ou −5. 2. N  314n1  184n1 : 31  2  13  5  5(13) et 18  13  1  5  5(13) ; on a donc
N  314n1  184n1   54n1  54n1  (13)   54n1  54n' 3  (13)  [5  8](13)  0(13) .    

Exercice 2 : Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué. 1. Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6. 2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq − 1 est divisible par 2p − 1 et par 2q − 1. 3. Pour tout n de *, 2n − 1 n’est jamais divisible par 9. 4. L’ensemble des couples d’entiers solutions de l’équation : 24x + 35y = 9 est l’ensemble des couples : (−144+70k ; 99−24k) où k  . 5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de centre A et de rapport 3 et g l’homothétie de centre B et de rapport
1 alors g f est la translation de vecteur AB . 3

6. Soit s la similitude d’écriture complexe z’ = iz +(1− i), l’ensemble des points invariants de s est une droite. Correction 1. Vrai : 4 002 = 2 004  1+1 998 ; 2 004 = 1 998  1+6 ; 1 998 = 6  336. Le dernier reste non nul est bien 6. q q 2. Vrai : 2 pq  1   2p   1   2p   1 ; or am  1   a  1   am1  am2  ...  1  . 3. Faux : contre-exemple : 26 −1 = 63 est divisible par 9. 4. Faux : les méthodes habituelles donnent les solutions (35k −144 ; 99−24k), k  . 5. Faux : soit M un point du plan ; son image M1 par f vérifie AM1  3 AM . Puis l’image M’ de M1 par g
1 1 1 1 2 BM1  M A  AB  BA  AM1  M A  AB  BA   3 AM  AB . 3 3 3 3 3 6. Vrai : les points