Rien n'est gagné d'avance
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QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESPour Dimitri 1. Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdx avec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : di cile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui donne 2 b b
I
=
0
π 2
1 − cos(2x) 2 π 2
2
dx
=
1 4
[1 − 2 cos(2x) + cos2 (2x)]dx
0
1+cos(2a) , 2
Mais on doit ensuite linéariser le cosinus au carré, en utilisant la formule cos2 a = ce qui donne
I
= =
1 4
0
π 2
1 − 2 cos(2x) +
0 π 2
1 + cos(4x) dx 2
1 1 1 1 − cos(2x) + + cos(4x) dx 4 2 8 8 π 2
= =
3x 1 1 − sin(2x) + sin(4x) 8 4 32 3π 16
0
Cette méthode est un peu (trop) longue, et risquée, et demande une bonne mémoire de la 1ère ! (2) la meilleure, linéariser avec l'aide des formules d'Euler :
sin4 x
= =
eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 16
1
4
QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
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(on a utilisé la formule du binôme de Newton avec les coe cients de la 4e ligne du triangle de Pascal :
(a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4
Ce qui donne, puisque eiα + e−iα = 2 cos α : 1 (2 cos(4x) − 8 cos(2x) + 6) sin4 x = 16 1 1 3 = cos(4x) − cos(2x) + 8 2 8 Alors, le reste est facile :
1 3x 1 I = sin(4x) − sin(2x) + 32 4 8 3π = 16 Montrons un cas où n est impair π Par exemple, J = 03 sin5 xdx. Il su t de factoriser de la manière suivante : J =
0
π 3
π 2
0
sin4 x sin xdx (1 − cos2 x)2 sin xdx
=
0
π 3
π 3
et de poser u = cos x, d'où u = − sin x :
J
= −
0
(1 − 2u2 + u4 )u dx π 3
=
2 u5 −u + u3 − 3 5
−π 3
π 2 π 1 π 2 1 + cos3 − cos5 + 1 − + 3 3 3 5 3 3 5 1 2 1 1 1 2 1 = − + . − . +1− + 2 3 8 5 32 3