1.2 Bijection
Théorème 2 dit de la « bijection »
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b],
Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B].
Démonstration
Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le cas où f est décroissante sera facile à en déduire.
On sait que f est une fonction continue sur [a, b].
Considérons le réel k compris entre f (a) et f (b).
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel  tel que : f () = k
Supposons qu’il existe réel  tel que  ,  et f () = k
Si  > , alors f () > f () (On sait que f est strictement croissante). et donc : f () , k
Contradiction. La supposition est donc fausse, et le réel  est unique.
On procède de même si  < .
D’où le résultat.
3Théorème 1 Limites et ordre
1. Théorème des « Gendarmes »
Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) 6 f (x) 6 v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim x!a f (x) = l
2. Cas d’une limite infinie
Si, pour x « assez voisin de a »on a f (x) > u(x), et si : lim x!a u(x) = +1, alors lim x!a f (x) = +1
(Énoncé analogue pour −1)
Démonstration :
Dans le cas où a = +1(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée.)
On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l.
La fonction u a pour limite l en +1 donc il existe un réel A tel que pour tout x 2]A; +1[ tous les nombres u(x) sont dans I.
De même, pour la fonction v :
On note B le réel tel que