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SIGNAUX CAUSAUX - SIGNAUX ANALYTIQUES

1— RAPPELS

1.1, — Fonction signe .

itl 1 t>0
On appelle ainsi la fonction sgn t= ad =

~1 t<0. sos 1
1.2. — Distribution vp Tr
© La distribution valeur principale au sens de Cauchy de 1/t est définie par :

1 t
<vp —, vlt) >= lim f LY ay t It>e

e>0 t e>0 _ 1 1
@ Nousavons: $sqn tf =~ vp— iT v

F

1 we {-— ian

1.3. ~ Quelques propriétés de la transformation de Fourier.

© Soit f(t) une fonction réelle intégrable, nous avons : …afficher plus de contenu…

® Soit maintenant T une distribution tempérée réelle, nous avons :
<T¥), AP) >= <TH), pv) > = <TIth, for) | >=<TH), po) >

= <TH, vy) > = <TH, pw) >= <TH), oo) >

= <Tb),g0)> = THe) = To.
La transformée de Fourier d’une distribution réetle est 4 symétrie hermitienne.
® Soit T(t) une distribution tempérée paire, nous avons :
<TiP), op) >= <TH), pv} > = <TH Fpl-v)f tt) > = < THe), eld >

= < Tl), git) >= < Tie), vl) >= <T0), pl) > = Tv) = Te).

La transformée de Fourier d’une distribution paire est paire.

@ On démontrerait de méme que la transformée de Fourier d'une distribution impaire est impaire.

® On en déduit alors comme dans Je cas des fonctions …afficher plus de contenu…

°

S. 1) Nous avons :
-1 1 d = 1 d e =— f'(t)*vp— = — j— fi vp —? =— gilt g; (t) a (t) vp — at {= ew 4 at g(t).

f, (t)= f(t) > g, (t) =g'(t).

dv

; 1 f(u+a) : 1 f(v)
@ g.(t)=—-lim — du=—-lim —
€70 7 Jit—uj>e t—u e670 7 Jt-vtal>e t-vta e>0 e>0
1 f
=-lim — SES dv = g(t+ a).
670 7 Skt+a)—vi>e (ttal—v e>0 f, (t)=f(t+a) > g,(t)=g(t+a). f(au) g 1 fiv) dv ec Sharam Eee du=—-lim — i. — -
It-ul>e t—4 B50 7 k-=|>« t-v/a a

em