Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions :
DÉFINITION

On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré.
DÉFINITION

On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0.

2 Factorisation, racines et signe du trinôme :
DÉFINITION

On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac.

2-1 Si ∆ < 0 :
Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation dans R. Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a.

x ax²+bx+c y a>0

−∝ Signe de a

+∝

O

x

a0

x1 x

a 0 :

x ax²+bx+c y −∝ Signe de a a>0 x1 Signe de (-a)

x2

+∝

Signe de a

x1 O

x2

x1

x2 x

a 0 et sont fermées si l’inéquation est de la forme · · · 0 ou · · · 0 .) Remarque : Si b = 0 ou c = 0, il est inutile d’utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes vues en Seconde sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes. Exemples nécessitant le calcul du discriminant : • Résolution dans R de l’inéquation x2 + 4x − 5 0 : (Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 4 et c = −5 ). Calcul du discriminant : ∆ = b2 − 4ac = (4)2 − 4(1)(−5) = 36. Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe de a à l’extérieur des racines". Il faut donc commencer par calculer les deux racines : √ √ √ √ −b − ∆ −4 − 36 −4 − 6 −b + ∆ −4 + 36 −4 + 6 x1 = = = = −5 x2 = = = =1 2a 2·1 2 2a 2·1 2 Signe du trinôme sur R : (ici a = 1 est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif à l’intérieur)

x x²+4x−5

−∝ +

−5 −

1 +

+∝