Second Degre Cours

Pages: 7 (860 mots) Publié le: 17 février 2015
Equation du second degré

Définition :
Une équation du second degré a pour forme générale :
a x2 + b x + c = 0 avec a ¹0.
Les solutions (si elles existent) d'une telle équation sont les abscisses des points d'intersection :
de la parabole d'équation P d’équation y = a x2
et de la droite D d’équation y = - b x – c

Résolution graphique d'une équation du second degré
Cas 1 : (figure I page 3)La droite (D) coupe la parabole (P) en deux points A et B.
Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d'intersection.
Exemple
Résoudre graphiquement x2 + x ‑ 6 = 0.
Pour cela :
1. On trace une parabole (P) d'équation y = x2.
2. On trace une droite (D) d'équation y = ‑ x + 6.
3. Les points d'intersection A et B ont pour coordonnées respectives
(- 3; 9)  et (2; 4).

Lesabscisses xA = ‑ 3 et xB = 2 sont solutions de l'équation x2 + x ‑ 6 = 0. Vérification :
(‑3)2 + ( ‑3) – 6 = 0,

22 + 2 – 6 = 0.


Equation du second degré

Résolution graphique d'une équation du second degré
Cas 2 : (figure II page 3)
La droite (D) est tangente à la parabole (P) au point I.
La solution est l'abscisse du point de tangence de la droite à la parabole.
Exemple
Résoudre graphiquement x2‑ x + 1 = 0.
Tracer une parabole (P) d'équation y = x2.
Tracer une droite (D) d'équation y = 4 x ‑ 4.
Le point d'intersection I a pour coordonnées : (2 ; 4)
Son abscisse x = 2 est solution de l'équation : x2 – x + 1 = 0

Cas 3 : (figure III page 3)
La droite (D) ne coupe pas la parabole (P). L'équation n'a pas de solution dans ce cas
Exemple
Résoudre graphiquement l’équation ‑ x2 ‑ x ‑ 2 = 0.Pour cela :
Tracer une parabole (P) d'équation y = x2.
Tracer une droite (D) d'équation y = ‑ x ‑ 2.
Il n'y a pas de point commun aux deux tracés. Il n'existe donc pas de réel x pour lequel ‑ x2 ‑ x ‑ 2 = 0 .
Résolution graphique d’une équation du second degré

I. x2 + x – 6 = 0




II. x2 – x + 1 = 0




III. – x2 – x – 2 = 0




IV. Soit à résoudre graphiquement l’équation: 2 x2 + x – 6 =0



La parabole (P) d’équation y = x2 et la droite (D) sont tracées dans le repère (IV)
ci-dessus.
a. Déterminer l’équation de la droite(D) sécante à la parabole(P).
b. Lire les coordonnées des points d’intersection et en déduire les solutions de l’équation 2 x² + x – 6 = 0.





Résolution d’une inéquation du second degré :
I. Signe du trinôme a x2 + b x + c = 0, a ¹ 0 :
a. Cas où  > 0 :Recherche graphique du signe de f(x) = x2 – 4 x + 3 :
a = 1; b = - 4 ; c = 3
 = b2 – 4 ac = 4 > 0;
donc le trinôme f(x) = x2 – 4 x + 3 admet 2 racines x1 = 3 et x2 = 1



Par lecture graphique :
Pour x < 1 ou x > 3, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0
Pour 1 < x < 3, f(x) = x² - 4 x + 3 < 0

Ceci peut se résumer par le tableau suivant :
a = 1 > 0




Résolution d’une inéquation du second degré :Recherche graphique du signe de f(x) = - 2 x2 – x + 6 :
a = - 2; b = - 1 ; c = 6
 = b2 – 4 ac = 49 > 0;
donc le trinôme f(x) = - 2 x2 – x + 6 admet 2 racines x1 = 1,5 et x2 = - 2



Par lecture graphique :
Pour x < - 2 ou x > 1,5, f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0
Pour – 2 < x < 1,5, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0

Ceci peut se résumer par le tableau suivant :
a = - 2 < 0


Résolution d’uneinéquation du second degré :

D’après les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a de la façon suivante :
a. Cas où  > 0 :









b. Cas où  = 0 :
Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que:
x1 = x2 = x0 = et se factorise comme suit :
a x² + b x + c = a (x – x0)2
Tableau de signes :

x
x0
Signe de a
Signe de a
Signe de aSigne de (x – x0)2
+
+
Signe de a x² + b x + c = a (x – x0)2
Signe de a
Signe de a

c. Cas où  < 0 :
La factorisation du trinôme a x ² + b x + c est impossible.
Le trinôme a x ² + b x + c, dans ce cas, est toujours du signe de a.

II. Solution d’une inéquation du second degré :
Résoudre une telle inéquation revient à étudier le signe du trinôme a x ² + b x + c
(a ¹ 0).
Trois cas sont...
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