Part I

MA205: ‡ux, circulation...
0.1

Divergence, rotationnel...

!
Exercice 1 Montrer que on a toujours:f étant un champ scalaire et V un champ vectoriel:
!
! div((Rot V ) = 0
!
!
!
Rot(Gradf ) = 0
!
div(Gradf ) =

f=

@2f
@2f
@2f
+ 2 + 2
2
@x
@y
@z

!
Exercice 2 Soit le champ de vecteurs V (M ) = (x2 + y 2
!
!
!
!
!
(x2 z) k : calculer divV; (Rot V ; div(Rot V )
Exercice 3 Soit f : R3 ! R dé…nie par f (x) =

x2

!
z) i + (2xy

! yz) j +

x
:
+ y2 + z2

! !
!
calculer Gradf; Rot(Gradf) ;

0.2

Dérivées directionnelles

Exercice 4 a)Trouver la dérivée directionnelle du champ: U = 2x3 y
!
en P(1,2,-1) dans la direction dé…nie par le vecteur P Q; Q(3; 1; 5)

3y 2 z;

b) Dans quelle direction cette dérivée est-elle maximum?
Exercice 5 Trouver la dérivée directionnelle du champ: f (x; y; z) = x2 yz 3 ; en
P(1,2,-1) dans la direction de la courbe paramétrée de l’espace:
C: x = e t ; y = 2 sin t + 1; z = t cos t : cela signi…e que l’on calcule
!
!
Gradf .! v ; où Gradf est calculé en P de la courbe C, P(t=0), et ! v vecteur unitaire dirigeant la tangente à C en P.

0.3

Intégrales curvilignes

R
Exercice 6 Calculer l’intégrale curviligne:I = (x2 + y 2 )dx + (x2 y 2 )dy; étant le triangle OAB, avec A(0,1),B(-1,0), orienté dans le sens trigonométrique
(par 2 méthodes)
Exercice 7 Calculer l’intégrale curviligne: J =
y)dz; étant l’hélice circulaire paramétrée par:
1

R

(y

z)dx + (z

x)dy + (x

x= R cos t; y = R sin t; z = ht;R et h donnés, 0

t

2

Exercice 8 Soient ! 1 et ! 2 les formes di¤ érentielles dé…nies sur R3 par:
! 1 (x; y) = (7x6 + 6xy + 2)dx + (3x2 + 1)dy
! 2 (x; y) = xydx + y 2 dy :
1) ! 1 et ! 2 sont-elles exactes?
2) Déterminer une fonction f telle que
! 1 (x; y) = df (x; y)
! !
3) Dans le plan muni d’un repère orthonormé (o, i ; j ), soit C la courbe dé…nie sur [0; 2 ] x = 2 cos t y = 3 sin t
a) Reconnaître et représenter rapidement C
b) Déterminer une représentation cartésienne de C
c) Calculer,
C étant parcourue dans le sens direct:
R
1) I = RC ! 1