SPE : Arithmétique

IV. Numération
Les chiffres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 permettent d'écrire les nombres dans le système décimal.
Tout nombre entier en base 10 s'écrit : où avec

Système de base b :
Tout nombre écrit en base s'écrit dans la base 10 : où avec
Pour , on note les chiffres après le chiffre 9.
Pour passer d'un système à l'autre, il est plus facile de revenir en base 10.
On note par exemple le nombre en base 5 qui s'écrit : en base 10.

Exemple :
Déterminer les entiers naturels et tels que
On doit écrire chacun de ces nombres en base 10 : Après calcul, on obtient :
Sachant que car la plus petite base écrite est 8, on cherche à déterminer et . (2)
De (1) on tire la valeur de
D'après (2) on a l'encadrement de : qui, après résolution de ces inégalités donne .
On choisit donc . La valeur de s'en déduit, soit

Remarque : Pour trouver et , on aurait pu faire appel à la résolution de l'équation diophantienne (1). J'invite le lecteur à appliquer cette méthode qui est toutefois un peu plus longue.

Exercice ouvert qui comporte plusieurs solutions :
Un entier naturel étant donné, quel est le chiffre des unités de l'écriture décimale de ?

On remarque, en effectuant plusieurs essais que se termine par zéro. On va essayer de le démontrer.
On peut écrire . Cette écriture appelle à deux remarques :
- le produit est pair car et sont deux entiers consécutifs.
- de plus les naturels 2 et 5 sont premiers entre eux.
Donc pour démontrer que est divisible par 10, on doit démontrer uniquement qu'il est divisible par 5.
On va se servir de quatre méthodes différentes.

1ère Méthode : par récurrence
Pour : vraie
Supposons que la relation soit vraie au rang , soit :
Démontrons qu'elle est vraie au rang , soit est un multiple de 5.
On a
. Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang .
Le principe de récurrence permet de