Exercices - Conditions de Cauchy-Riemann : ´nonc´ e e
Exercice 1 - R-diff´rentiable - L3/M1 e
Pour z = x + iy, on pose f (z) = x + iy 2 . 1. Prouver que f est R-diff´rentiable sur C. D´terminer la diff´rentielle de f . e e e 2. En quels points f est-elle C-diff´rentiable ? Existe-t-il un ouvert non vide U de C tel que e la restriction de f ` U soit holomorphe sur U ? a

Exercice 2 - Fonctions holomorphes ` valeurs r´elles - L3/M1 a e
Soit Ω un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans Ω. On ´crit f = u + iv, o` u e u et v sont ` valeurs r´elles. Montrer que les propositions suivantes sont ´quivalentes : a e e (i) f est constante ; (ii) u est constante ; (iii) v est constante ; ¯ (iv) f est holomorphe ; (v) |f | est constante.

Exercice 3 - Parties r´elles et imaginaires harmoniques - L3/M1 e
Soit f = u + iv une fonction holomorphe dans un ouvert Ω. Montrer que u et v sont harmoniques, c’est-`-dire que a ∂2u ∂2u + 2 = 0. ∂x2 ∂y

Exercice 4 - Reconstruction - L3/M1 Soient a, b, c ∈ R. Pour z = x + iy, on pose P (z) = az 2 + 2bxy + c2 . Donner une condition n´cessaire et suffisante sur a, b, c pour qu’il existe une fonction holomorphe e f sur C v´rifiant e(f ) = P . Lorsque cette condition est remplie, d´terminer toutes les fonctions e e f solution.

Exercice 5 - Sym´trie - L3/M1 e
Soit U un ouvert de C et f une fonction holomorphe sur U . Soit V = {z ∈ C; z ∈ U }. On ¯ pose, pour z ∈ V , g(z) = f (¯). Montrer que g est holomorphe sur V . z

Exercice 6 - Courbes orthogonales - L3/M1 Soit f = u+iv une fonction holomorphe dans un ouvert Ω. Montre que les familles de courbes u(x, y) = constante et v(x, y) = constante sont orthogonales. Plus pr´cis´ment, montrer qu’en e e tout point z0 = x0 + iy0 de deux de ces courbes tel que f (z0 ) = 0, leurs tangentes respectives sont perpendiculaires.

Exercice 7 - d-barre - L3/M1 Dans cet exercice, on identifie R2 et C via l’application (x, y) → x + iy. Soit Ω un ouvert de C et f ∈ C 1 (Ω) ` valeurs dans C. On note a