La loi normale
PRÉPARÉ PAR:
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AIT ALI SARA

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AIT BRIK REDOUANE

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AIT OUMGHAR OUSSAMA

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AIT TAHAR RACHID

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OMAR AJDIR

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AJERROUD SOUKAINA

Généralités et définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est:

Représentation graphique

Caractéristiques et propriétés:


Notation N(μ;σ²)



Courbe symétrique autour de μ et a 2 points

D’inflexion aux abscisses μ-σ et μ+σ


E(X) = μ

 V(X)

= σ²

La loi normale centrée réduite


Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N
(0 ; 1) si sa fonction de densité est la fonction définie sur par:



On dit que la distribution est centrée si E(X)=0



On dit que la distribution est réduite si V(X)=1

Transformation d’une loi normale en loi normale centrée réduite


Soit X une variable aléatoire continue suivant une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ



Si on applique le changement de variable:

La variable t suit la loi normale centrée réduite:

En effet, un changement de variable linéaire n’affecte pas la nature normale de la variable

Théorème central limite


Définition : Véritable pilier des statistiques, ce théorème énonce que les moyennes d’un grand nombre d’échantillons suivent une loi normale, même si ceux-ci suivent individuellement une autre loi de probabilité. C’est parce que le TCL n’exige pas d’hypothèse sur la loi de probabilité suivie par chaque v.a hormis celle d’une variance finie qu’il se révèle si indispensable aux statistiques. Du coup, il s’applique à des lois de probabilité qu’il n’est même pas utile d’identifier… En statistique inférentielle, c’est ce théorème qui permet le calcul des intervalles de confiance autour des estimateurs.



Théorème :
Mathématiquement, Y converge à l’infini mais en pratique on admet qu’à compter d’un échantillon de trente moyennes la loi normale peut être utilisée, comme le TCL nous y invite…
S’il y a des valeurs aberrantes ou des distributions très asymétriques,