Structures a¢ nes (en dimension …nie)
1 Plan
1. Structure a¢ ne sur un ensemble (a) Dé…nition, identi…cation avec l’ espace vectoriel directeur par le choix arbitraire d’ une origine. (b) Exemples : Espace physique, ensemble des solutions d’ une équation x0 = ax + b(t), espaces vectoriels, en particulier Rn . 2. Sous-espaces a¢ nes ! ! (a) Dé…nition : F = I + F , propriété F = J + F pour tout point J 2 F .

(b) Cas particuliers : points, droites, plans, hyperplans (relation avec les noyaux de formes linéaires non nulles). (c) Paramétrisation : F = I +t1 e1 +:::+tp ep , et équations paramétriques ! lorsqu’ une base est donnée dans E . Cas des hyperplans, élimination des paramètres et équation cartésienne (ou implicite) de l’ hyperplan et de l’ hyperplan directeur. Problème inverse de la paramétrisation d’ hyperplan donné par une équation cartésienne. un

(d) Propriétés d’ incidence. - Dé…nition du parallélisme, caractérisation en termes d’ intersection. ! ! - Si F \G 6= ?, alors F \G est un sous-espace a¢ ne dirigé par F \ G . n!o ! ! - Rappel sur les sous-espaces vectoriels : Si F \ G = 0 , et ! ! ! ! ! ! ! ! ! dim F + dim G = dim E , alors F + G = E , et donc E = F G. Conséquence : position d’ une droite par rapport à un hyperplan. ! ! - Si F = a + F et G = b + G , alors ! ! ! F \ G 6= ? () ab 2 F + G . ! ! ! ! ! ! En particulier, si F + G = E , alors F \ G 6= ?, et si F G = E, ! ! ! alors F \ G est un point (attention, dim F + dim G = dim E ne prouve rien). 3. Applications a¢ nes.

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(a) Caractérisation (et dé…nition). f : E ! E 0 est une application. ! ! ! (1) M N 7 ! f (M )f (N ) dé…nit une application de E dans E 0 , et celle-ci est linéaire. ! ! ! ! ! ! (1bis) 9 f 2 L E ; E 0 ; 8 (M; N ) 2 E E; f M N = f (M )f (N ). ! ! ! ! ! ! (2) 9 f 2 L E ; E 0 ; 9O 2 E; 8M 2 E; f OM = f (O)f (M ). (3) L’ image par f d’ barycentre est le barycentre des images avec un les mêmes coe¢ cients. Conséquences : f est déterminée par l’ image d’ point et la parun ! tie