Exercice 1 : a. e-2x(x²-1)>0 On étudie le signe de e-2x(x²-1) or e-2x est toujours strictement positif pour tout x de R. et x²-1=0 donc x²=1 donc x=1 ou x=-1 x | -∞ -1 1 +∞ | e-2x | + | + | + | x²-1 | + | - | + | e-2x(x²-1) | + | - | + | S=]-∞,-1[U] 1, +∞ [ eb b.exe2x+1=e-x 3 car ea = ea-b et (ea)ⁿ=(e ⁿa) ex-2x+1=e-3x Donc x-2x+1=-3x x-2x+1+3x=0 2x+1=0 X= - 1 2 S={-12} PS: ne prend pas en compte les petits carrés

Exercice2 : ex +1

1.a. f(x)= ex -1 limx+∞ ex=+∞ par somme limx+∞ ex -1=+ ∞ limx+∞ -1=-1 limx+∞ ex=+∞ par somme limx+∞ ex+1=+ ∞ limx+∞ 1=1

Donc par quotient, limx+∞ ex -1 est une forme indéterminée. ex +1
Pour lever l’indétermination, il faut factoriser par le terme du plus haut degré
On obtient donc ex (1- (1/ex)) = (1- (1/ex)) ex (1+ (1/ex)) (1+ (1/ex))

Donc limx+∞ (1- (1/ex)) =1 par quotient limx+∞ fx=1 limx+∞ (1+ (1/ex)) =1

limx-∞ ex=0 par sommelimx-∞ ex -1=-1 limx-∞ ex-1=-1

limx-∞ ex=0 par sommelimx-∞ ex +1=1 limx-∞ ex+1=1

Par quotient, lim x-∞ ex -1 = -1 ex +1
Puisque limx+∞ fx=1 et limx-∞ fx=-1 alors la courbe C admet deux asymptotes horizontales d’équation y=1 et y=-1 respectivement au voisinage de +∞ et-∞

b. Pour étudier la position relative de la courbe, on étudie le signe de f(x)-y
Donc f(x)-y= ex -1 -1