TS – DS 1 : CORRECTION
Exercice 1 1) On détermine les variations de f avec la dérivée ou avec le cours de 1ère sur le second degré

 

b 2   1 et   f ( )  1 puis a  1  0 donc f est décroissante sur ;1 et croissante sur 1;  . 2a 2 1 x variation de f 1



1

2 2



2) Initialisation n = 0 on a u0 

3 3 et 1   2 donc l’encadrement est vrai au rang 0 2 2

Hérédité On suppose que l’encadrement est vrai à un certain rang n, montrons qu’il reste vrai au rang suivant n +1 On sait que 1  un  2 (hypothèse de récurrence) Alors f (1)  f (un )  f (2) car f est croissante sur [1 ; 2] soit 1  un1  2 (d’après les valeurs du 1) ) Par conséquent, nous avons prouvé par récurrence que, pour tout entier n, on a 1  un  2 . Exercice 2

lim  5n  2     1.  lim un   1 lim  3  3  n n  n  n 

 9   9   9  n 2  2  1 n 2  2  1  2  1 1  n  n  n     2. FI " " or vn  2  1  2  1  6  2  1      3n 1    2n 1   6 n 2 1  1   1  1    3n   2n   3n  2n   3n  2n  1 2  1   9    Or lim  2  1  1 et lim 1    1 et nlim 1    1 donc nlim vn    n  n n   6    3n   2n 
3.

1   1  1 n 0  1   1  2 n or lim

1   1 1 0  n n 3 3 n 1  0 donc, d’après le th. des gendarmes, lim wn  0 n  n 3n

Exercice 3 1. Contrat 1

5  ème   1, 05u0  12600 . Le loyer u1 de la 2 année est 12 600 €. 100  5   b. Chaque année, le contrat est multiplié par 1    1, 05 donc un1  1,05un .  100  Cette suite  un  est donc géométrique de raison 1,05 et de 1er terme u0  12000 donc un  u0  q n  12000 1,05n .
a. u1  u0  1  On calcule u8  12000 1,058  17729 . Le loyer de la 9ème année sera 17 729 €.

 

c. On cherche u0  ...  u8  u0 

1  q9 1  1, 059  12000   132319 1 q 1  1, 05

La somme payée pour les 9 années avec le contrat 1 sera 132 319 €.

2. Contrat 2 a.