Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2009

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats

4 points

VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. PARTIE A Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈ N∗ par un = (−1)n . 1. La suite (un ) est bornée. 2. La suite (un ) converge.

un converge. n 4. Toute suite (v n ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. 3. La suite de terme général

E XERCICE 4 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = 6 − 5 . x +1

5 points

Le but de cet exercice est d’étudier des suites (un ) définies par un premier terme positif ou nul u0 et vérifiant pour tout entier naturel n : un+1 = f (un ) . 1. Étude de propriétés de la fonction f b. Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[[ l’équation f (x) = x. On note α la solution. a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

c. Montrer que si x appartient à l’intervalle [0 ; α], alors f (x) appartient à l’intervalle [0 ; α]. De même, montrer que si x appartient à l’intervalle [α, +∞[ alors f (x) appartient à l’intervalle [α ; +∞[. 51

Centres étrangers

14 juin 2010

2. Étude de la suite (un ) pour u0 = 0 Dans cette question, on considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n : un+1 = f (un ) = 6 − 5 . un + 1

a. Sur le graphique représenté dans l’annexe 2, sont représentées les courbes d’équations y = x et y = f (x). Placer le point A 0 de coordonnées (u0 ; 0), et, en utilisant ces courbes, construire à partir de A 0 les points A 1 , A 2 , A 3 et A 4 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u1 , u2 , u3 et u4 . Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite (un ) ? b. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0 un+1 α. 3. Étude des suites (un ) selon les valeurs du réel positif ou nul u0 Dans cette question, toute trace