CONCOURS GENERAL 2000
| Problème |
|Ce problème traite des triangles dit cartésiens, c'est à dire à côtés entiers |
| BC = a , CA = b et AB = c , |
|dont l'angle en A mesure [pic]. Sauf avis contraires, ABC est supposé cartésien. |
|1: Notant H son orthocentre orthogonalement projeté en ( U , V , W ) sur les trois côtés, |
| déterminez les nombres rationnels parmi |
| AU , BV , CW , HA , HB , HC , HU , HV , HW , AW , AV , BU , BW , CV et CU. |
|2: Notant I son centre du cercle inscrit, J l'intersection de la bissectrice intérieure en A et des |
| bissectrices extérieures en les autres sommets, et P , Q les intersections de la droite BC et |
| des deux bissectrices en A , déterminez les nombres rationnels parmi |
| PC , PB , QB , QC , AI , AJ , AP et AQ . |
|3: On suppose désormais b et c premiers entre eux. |
| Montrez que, quitte à échanger b et c , a + b - c est multiple de 3 et a - b + c ne l'est pas. |
|4: On pose [pic]où p et q sont des entiers premiers entre eux strictement postifs. |
| On note d le pgcd de p (3 p + 2 q ) et de q (2 p + q ).