EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats)

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice. Cette feuille est à rendre avec la copie. − − Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O, →, →), le point A a pour affixe i. u v On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z = i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que : −z 2 z′ = . z−i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M ′ connaissant le point M. 1) Un exemple. On considère un point K d’affixe 1 + i. a) Placer le point K. b) Déterminer l’affixe du point K ′ image de K par f . c) Placer le point K ′ . 2) Des points pour lesquels le problème ne se pose pas. i a) On considère le point L d’affixe . Déterminer son image L′ par f . Que remarque-t-on ? 2 b) Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image. Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes. Un procédé de construction.

3)

On nomme G l’isobarycentre des points A, M, et M ′ , et g l’affixe de G. 1 a) Vérifier l’égalité g = . 3(z − i) b) En déduire que si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point 1 du cercle de centre O de rayon . 3r − → −→ c) Démontrer que arg g = − − ; AM . u 1 d) Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon . 2 On nomme D ′ l’image de D par f . Déduire des questions précédentes la construction du point D ′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.

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ANNEXE
A rendre avec la copie
EXERCICE 4
→ → − u Sur la figure ci-dessous le segment [OI] tel que − = OI est partagé en six segments d’égale longueur.

×

D

A

+

O

+ + + + +

I

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EXERCICE 4 1) a) voir plus loin −(1 + i)2 −(1 + 2i − 1) b) zK ′ = = = −2i. (1 + i) − i 1 zK ′ = −2i. a) et c) 1 K

−4

−3

−2

−1 −1 −2 K′

1

2

3

4

− 2) a) zL ′ =

i 2 i −i 2

2

=

1/4 1 1 i i = = × =