EXERCICE 4 (5 points )
(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Partie A

Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z.
On admet l’égalité |z|2 = zz.
Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
Partie B

Étude d’une transformation particulière

− →
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; →, − ), on désigne par A et B les u v points d’affixes respectives 1 et −1.
Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z = 1, associe le point M d’affixe z tel que : z =

1−z
.
z−1

1. Soit C le point d’affixe zC = −2 + i.
(a) Calculer l’affixe zC du point C image de C par la transformation f , et placer les points C et C dans le repère donné en annexe.
(b) Montrer que le point C appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.
(c) Montrer que les points A, C et C sont alignés.
2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .
3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M appartient au cercle C . z −1 est réel. z−1 Que peut-on en déduire pour les points A, M et M ?

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z = 1,

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D par la transformation f .

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Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

→
−
v

O
→
− u D
C

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EXERCICE 4
Partie A
Soient z1 et z2 deux nombres complexes. On sait que z1 z2 = z1 × z2 et donc
|z1 z2 |2 = z1 z2 (z1 z2 ) = z1 z1 z2 z2 = |z1 |2 |z2 |2 .
En résumé, |z1 z2 |2 = |z1 |2 |z2 |2 . Puisqu’un module est un réel positif, en prenant la racine carrée des deux membres de l’égalité précédente, on obtient |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. On a montré que pour tous nombres complexes z1 et z2 , |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
Partie B