II. Identités remarquables

1. Carré d'une somme

Propriété :

Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat :
* par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

* en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous : factorisation, développement, identités remarquables - troisième : image 1
ABCD est un carré de côté a + b, AEFG est un carré de côté a, FHCI est un carré de côté b, EBHF et GFID sont deux rectangles de largeur a et de longueur b.
Exprimons de deux manières différentes l'aire \mathcal{A} du carré ABCD :
ABCD est un carré de côté a + b, donc \mathcal{A} = (a + b)² ou :
\mathcal{A} = \mathcal{A}_{\text{AEFG}} + \mathcal{A}_{\text{EBHF}} + \mathcal{A}_{\text{FHCI}} + \mathcal{A}_{\text{GFID}}
\mathcal{A} = a² + a × b + b² + a × b
\mathcal{A} = a² + 2ab + b²
D'où : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemples :
* Développer :
(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\\ (5x + 3)^2 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 3 + 3^2 = 25x^2 + 30x + 9\\ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1

* Calculer :
11² = (10 + 1)² = 10² + 2 × 10 × 1 + 1² = 100 + 20 + 1 = 121
13² = (10 + 3)² = 10² + 2 × 10 × 3 + 3² = 100 + 60 + 9 = 169
22² = (20 + 2)² = 20² + 2 × 20 × 2 + 2² = 400 + 80 + 4 = 484
101² = (100 + 1)² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201

2. Carré d'une différence

Propriété :

Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)² = a² - 2ab + b² Démontrons ce résultat :
* par le calcul, en utilisant la double distributivité :
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a × a - a × b - b × a + b × b = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

* en utilisant la géométrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure