Bts MAI session 2003 | Exercice 2 : ( 11 points )

– Partie A - Résolution d’une équation différentielle
1. y ' + y = 0 y' = - y. cette dernière équation différentielle est de la forme : y ' = a y où a est une constante réelle a = -1
Les solutions de l’équation différentielle (E0) sur sont toutes les fonctions ayant pour écriture :

où k est une constante réelle quelconque.
2. Soit h la fonction définie sur par h(x) = 2xe-x. h' (x) = 2e-x - 2xe-x h'(x) + h(x) = 2e-x - 2xe-x + 2xe-x = 2e-x donc la fonction h vérifie l'équation différentielle (E) par conséquent h est une solution particulière de (E).
3. Donc toutes les fonctions solutions de (E) sont les fonctions définies sur par : y(x) = 2xe-x + ke-x où k est une constante réelle quelconque.
4. f est solution de l’équation différentielle (E) donc on a : f (x) = 2xe-x + ke-x où k est une constante réelle à déterminer.
La courbe représentative de f passe par le point de coordonnées (0 ; 3) donc : f(0) = 3 d'où : f (x) = 0 + ke0 = 3 il vient donc k = 3 par conséquent la fonction f est définie sur par : f (x) = 2xe-x + 3e-x = (2x + 3)e-x

– Partie B - Etude d’une fonction
1.
a) La courbe représentative C de f coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3 donc f(0) = 3.
b) Graphiquement : le coefficient directeur m de la tangente (AB) est donné par :

f ' (0) = -1.
c) f (x) = (ax + b)e-x f (0) = (0 + b)e0 = 3 d'où b = 3. f ' (x) = (a)e-x - (ax + b)e-x f ' (0) = (a)e0 - (b)e0 = -1 donc a - b = -1 or b = 3 d'où a = 3 - 1 = 2 on a donc a = 2 et b = 3 par conséquent f est définie sur par f (x) = (2x + 3) e-x

2. a) Pour tout x de , f ' (x) = 2 e-x - (2x + 3)e-x = (2 - 2x - 3)e-x = (-2x - 1)e-x
b) f ' (x) 0 -2x - 1 0 car e-x > 0 sur
-2x - 1 0 si et seulement si x - 1/2.
S = ]- ; -1/2 ]
c) En déduire le sens de variation de f sur f ' (x) 0 sur ]- ; -1/2 ] , donc f est croissante sur ]- ; -1/2 ] f ' (x) 0 sur [-1/2 ;+ [ , donc f est décroissante sur [-1/2 ;+ [