Td algebre lineaire
999 mots
4 pages
Universit´ Paris Diderot eMM1 – Ann´e 2011/12 e
Feuille de TD no 10 Espaces Vectoriels, Base et Dimension
Exercice 1 D´terminer lesquels des ensembles E1 , E2 , E3 et E4 sont des sous-espaces vectoriels e 3 de R . E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = x + y + z = 0}. E2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = 0}. E3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 1}. E4 = {(x, y, z) ∈ R3 ; z(x2 + y 2 ) = 0}. Exercice 2 Parmi les ensembles suivants reconnaˆ ceux qui sont des sous-espaces vectoriels. ıtre E1 = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + a = 0, et x + 3az = 0 E2 = {f ∈ F(R, R); f (1) = 0} , E3 = {f ∈ F(R, R); f (0) = 1} E4 = {P ∈ Rn [X]; P = 3} , Exercice 3 Soit E un R-espace vectoriel. 1. Soient F et G deux sous-espaces de E. Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ⇐⇒ F ⊂ G ou G ⊂ F. 2. Soient H un troisi`me sous-espace vectoriel de E. Prouver que e G ⊂ F =⇒ F ∩ (G + H) = G + (F ∩ H). Exercice 4 Montrer que {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0 et 2x − y + 3z = 0} est un sous-espace vectoriel de R3 . Exercice 5 Les famille suivantes sont-elles libres ? 1. v1 (1, 0, 1), v2 (0, 2, 2) et v3 (3, 7, 1) dans R3 ; 2. v1 (1, 0, 0), v2 (0, 1, 1) et v3 (1, 1, 1) dans R3 ; 3. v1 (1, 3, 2, −1), v2 (0, 2, 1, −4) et v3 (6, 0, 4, −3) dans R4 ; 4. v1 (1, 2, 1, 2, 1), v2 (2, 1, 2, 1, 2), v3 (1, 0, 1, 0, 1) et v4 (0, 1, 0, 1, 0) dans R5 . e e e Exercice 6 On consid`re dans Rn une famille de 4 vecteurs lin´airement ind´pendants : ( e1 , e2 , e3 , e4 ). Les familles suivantes sont-elles libres ? 1. (e1 , 2e2 , e3 ). 2. (e1 , e3 ). 3. (e1 , 2e1 + e4 , e4 ). 4.(3e1 + e3 , e3 , e2 + e3 ). 5. (2e1 + e2 , e1 + 2e2 , e4 , e2 − e1 ). E5 = (x, y) ∈ R2 ; x + αy + 1 0 .
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Exercice 7 Dans R3 , les vecteurs suivants forment-ils une base ? 1. v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 0, −1), v3 = (−1, 1, −1). 2. v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 0, −1), v3 = (1, 8, 13). 3. v1 = (1, 2, −3), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1, 10, −11). 4. v1 = (1, 2, −3), v2 = (1, 0, −1). e Exercice 8 D´terminer lesquels des ensembles E1 , E2 , E3 et E4