LPSIL

Ann´ ee 2007-2008
TD MathOpt - Feuille 1

Introduction et mod´elisation

Rappel sur les d´ efinitions 1. Dites quel(s) probl`emes parmi P1,P2,P3 sont sous forme standard?
P1 : Maximiser
3x1
Sous les contraintes : 4x1
6x1
x1

− 5x2
+ 5x2
− 6x2
+ 8x2 x1 , x2

≥ 3
= 7
≤ 20
≥ 0

P2 : Minimiser 3x1 + x2 + 4x3 + x4 + 5x5
Sous les contraintes : 9x1 + 2x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 ≤ 5
8x1 + 9x2 + 7x3 + 9x4 + 3x5 ≤ 2 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
P3 : Maximiser
8x1 − 4x2
Sous les contraintes : 3x1 + x2 ≤
7
9x1 + 5x2 ≤ −2 x 1 , x2 ≥
0
2. Mettre sous la forme standard :
P4 : Minimiser −8x1 + 9x2 + 2x3 − 6x4 − 5x5
Sous les contraintes :
6x1 + 6x2 − 10x3 + 2x4 − 8x5 ≥ 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
3. Prouver que le problme
` (1.9) du cours est non r´ealisable est que (1.10) est non born´e.
4. Trouver des conditions n´ecessaires et suffisantes pour les nombres s et t pour que le probl`eme :
P5 : Maximiser x1 + x2
Sous les contraintes : sx1 + tx2 ≤ 1 x1 , x2 ≥ 0
a) ait une solution optimale
b) soit non r´ealisable
c) soit non born´e

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Mod´ elisation 5. Une entreprise fabrique 2 produits X et Y . Pour sa conception, chaque produit fini n´ecessite
3 produits interm´ediaires A, B et C. Pour fabriquer un produit X, on a besoin de 2 produits
A, de 2 produits B et de 1 produit C. De mˆeme, pour fabriquer un produit Y , on a besoin de
3 produits A, de 1 produit B et de 3 produits C. En outre, l’entreprise dispose d’une quantit´e limit´ee de produits A, B et C. Elle a 180 produits A, 120 produits B et 150 produits C.
Sachant que le b´en´efice pour une unit´e de X est 3 euros et que celui pour une unit´e de Y est de 4 euros, combien de produits X et Y faut-il fabriquer pour maximiser le profit ?
Mod´eliser ce probl`eme par un programme lin´eaire et donner une repr´esentation graphique des contraintes et de la solution.
6. On suppose qu’une entreprise fabrique deux produits et d´ecide d’augmenter le niveau de production pour maximiser le b´en´efice. Soient x1 la quantit´e de produit de type 1