Université Paris 1 - L3 Mass
Modèles mathématiques en Finance - TD4
Exercice 1. Soit un décideur muni d'une relation de préférence strictement averse au risque. On suppose aussi l'axiome d'indépendance vérifié.
Pour tout h ≥ 0 et ε ∈ [0 , 1/2] on considère la loterie a(h , ε) qui amène les conséquences -h , 0 et h avec les probabilités respectives ε , 1−2ε et ε . a/ Montrer que la relation de préférence est "strictement décroissante en h " :
∀ h , h' ≥ 0 , ∀ ε ∈ [0 , 1/2] , h' > h ⇒ a(h' , ε) < a(h , ε) b/ Montrer que la relation de préférence est "strictement décroissante en ε " :
∀ h ≥ 0 , ∀ ε , ε' ∈ [0 , 1/2] , ε' > ε ⇒ a(h , ε') < a(h , ε)
Exercice 2. Soit un décideur muni de la fonction d'utilité de VNM

u :ℝ  ℝ , x 

x x1 Le décideur dispose d'une richesse W et est soumis à un risque de perte de D avec probabilité π .
Le décideur peut assurer tout ou partie de son capital au prix unitaire de q (i.e. y contrats coûtent qy et rapportent y en cas de sinistre).
a) Montrer que l'agent est strictement averse au risque et tracer le graphe de sa fonction d'utilité.
b) Décrire le problème de l'agent sous la forme d'un programme d'optimisation. On note F sa fonction objectif.
c) On note k(q) =



1−q q1− , vérifier que k(q) < 1 ssi q > π .

d) Calculer la quantité y° qui annule la dérivée de F en fonction de q , k(q) , D et W .
e) On suppose 1 > q > π . A quelle condition sur q , a t-on y° > 0 ?
f) Application numérique: π = 1/100 , W = 100 , D = 50 . Calculer le niveau d'assurance optimal lorsque q = 2/100 et q = 3/100 . A partir de quelle valeur de q , l'agent cesse t-il de s'assurer?
Exercice 3. Soit une économie à 2 périodes t = 0 , 1 et 2 états de la nature en période 1 . Il y a deux instruments financiers : une obligation de prix q1 = 1 et de taux d'intérêt nul et un actif de prix q2 et de retours contingents 3 + ε et 1 - ε , où ε est un paramètre > 0 .
a) Montrer que 3 + ε > q2 > 1 - ε .
b) On introduit maintenant une option d'achat de prix