1.2.2.5 Conjugaison complexe
On note x¤ le signal conjugué de x1.11. Calculons TF[x¤(t)] :
TF[x¤(t)] =
Z +1
¡1
x¤(t)e¡j2¼ºtdt = µZ +1
¡1
x(t)e+j2¼ºtdt
¶¤
Et donc :
TF[x¤(t)] = X¤(¡º) (1.11)
Remarque : si x est un signal réel, alors x(t) = x¤(t), donc X(º) = X¤(¡º). Si de plus x est pair (ou impair), alors x(t) = x(¡t) (respectivement x(t) = ¡x(¡t)) et en utilisant la remarque du paragraphe 1.2.2.4, il vient
X¤(¡º) = X¤(º) (respectivement X¤(¡º) = ¡X¤(º)) d’où X(º) = X¤(º) et X est réelle (respectivement imaginaire pure). En définitive, on obtient le tableau récapitulatif suivant :
Signal x Pair Impair
Réel X réelle paire X imaginaire pure impaire
Imaginaire pur X imaginaire pure paire X réelle impaire
1.2.2.6 Convolution
Définition : Soient deux signaux x et y à valeurs continues et à temps continu. On définit le produit de convolution des deux signaux, ou plus simplement leur convolution, par :
(x ¤ y)(t) ¢=
Z +1
¡1
x(µ)y(t ¡ µ)dµ (1.12)
On vérifie aisément que (x ¤ y)(t) = (y ¤ x)(t), c’est-à-dire que la convolution est commutative, et donc que :
Z +1
¡1
x(µ)y(t ¡ µ)dµ =
Z +1
¡1
x(t ¡ µ)y(µ)dµ (1.13)
Transformée de Fourier : Calculons TF[(x ¤ y)(t)]...
TF[(x ¤ y)(t)] =
Z +1
¡1
µZ +1
¡1
x(µ)y(t ¡ µ)dµ
¶
e¡j2¼ºtdt
Ou :
TF[(x ¤ y)(t)] =
Z +1
¡1
Z +1
¡1
x(µ)y(t ¡ µ)e¡j2¼ºtdµdt
On écrit e¡j2¼ºt = e¡j2¼º(t¡µ)e¡j2¼ºµ et on obtient, en regroupant :
TF[(x ¤ y)(t)] =
Z +1
¡1
µZ +1
¡1
y(t ¡ µ)e¡j2¼º(t¡µ)dt
¶
x(µ)e¡j2¼ºµdµ
Dans l’intégrale centrale, on effectue le changement de variable u = t ¡ µ ; il vient alors :
TF[(x ¤ y)(t)] =
Z +1
¡1
µZ +1
¡1
y(u)e¡j2¼ºudu
¶
x(µ)e¡j2¼ºµdµ
On peut ensuite séparer les variables, et on obtient :
TF[(x ¤ y)(t)] = µZ +1
¡1
y(u)e¡j2¼ºudu
¶µZ +1
¡1
x(µ)e¡j2¼ºµdµ
¶
1.11. Autrement dit, si on écrit x(t) sous la forme x(t) = x1(t) + jx2(t), alors x¤(t) = x1(t) ¡