Introduction

La théorie des fonctions analytiques a vu le jour avec Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857), Bernhard RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions.
Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule intégrale, facilement maniable pour l’analyste. Par la suite, sa théorie a été développée selon deux axes différents : l’un géométrique adopté par Riemann et l’autre arithmétique par Weierstrass.
Riemann considère les fonctions analytiques comme des transformations conformes. De son point de vue, une fonction est une loi qui régit la transformation d’une surface en une autre. L’une des difficultés rencontrée dans l’étude des fonctions de la variable complexe est le caractère multiforme de certaines d’entre elles (on peut citer par exemple [pic] ou [pic]). En modifiant le domaine où varie [pic], Riemann a réussi à redonner un caractère uniforme aux fonctions multiformes. Pour cela, il a considéré le plan complexe comme un ensemble de feuillets superposés. De tels domaines sont appelés surfaces de Riemann.
Weierstrass refuse le point de vue global de Riemann au profit d’une étude locale. L’élaboration de sa théorie repose sur l’étude des séries convergentes. Il définit une fonction analytique comme une fonction dont la valeur en chaque point peut être donnée par la somme d’une série entière convergente.
L’usage est de définir une fonction [pic] par une région [pic], appelée domaine de définition de [pic] et par une formule qui permet de déterminer les valeurs de [pic] lorsque la variable [pic] parcourt [pic]. Etant donné une fonction [pic] sur un domaine [pic] de (, Weierstrass considère le développement en série entière de [pic]. A partir de cette série, il étudie