Terminale ds

Pages: 7 (1510 mots) Publié le: 9 septembre 2012
T S spécialité mathématiques.|Devoir surveillé n° 2|Jeudi 29 novembre 2007|


Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1.
1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
2° On supposeque n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel.
a) Montrer que M et N sont des entiers pairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1.
a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N.
b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair.
c) Démontrer que 81 n2 –1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair.

1° On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation
(E') : 91 x + 10 y = 412.
c) Résoudre (E').
2° Montrer queles nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296.
a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E").
b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.T S spécialité mathématiques.|Devoir surveillé n° 2|Jeudi 29 novembre 2007|


Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1.
1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
2° On supposeque n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel.
a) Montrer que M et N sont des entiers pairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1.
a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N.
b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair.
c) Démontrer que 81 n2 –1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair.

1° On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation
(E') : 91 x + 10 y = 412.
c) Résoudre (E').
2° Montrer queles nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296.
a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E").
b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.

Soit nun entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1. 1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul. a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
si n 0 mod 2 alors M 9 0 + 1 1 mod 2 alors M est impair.
si n 0 mod 2 alors N 9 0 – 1 1 mod 2 alors N est impair.
b) En remarquant que N = M + 2, déterminer lePGCD de M et N.
d = PGCD (M, N). d divise M et N donc d divise N – M donc d divise 2 donc d = 1 ou d = 2
N est impair donc d 2 donc d = 1. On peut aussi utiliser le lemme d'Euclide. PGCD(M, N) = PGCD(N, 2).
2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l, avec p entier naturel.
a) Montrer que M et N sont des entiers pairs.
si n = 2 p + 1 alors M 9 (2 p + 1) + 1 = 2...
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