Programmation linéaire
D IDIER M AQUIN

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Ecole Nationale Superieure d’Electricite et de Mecanique
Institut National Polytechnique de Lorraine
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Mathematiques discretes – cours de 2eme annee

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Programmation lineaire – p.1/49

Programmation linéaire
Problèmes d’optimisation sous contraintes (cas particulier) Fonction objectif et contraintes linéaires (par rapport aux variables inconnues).
Formulation générale : max M = cT x x sous les contraintes Ax ≤ b

x≥0

avec x ∈n , A ∈m×n , b ∈m et m < n.
On recherchera indifféremment à maximiser ou à minimiser ´
Programmation lineaire – p.2/49

Exemple 1 – Problème de transport
On désire acheminer des marchandises de n dépôts à m points de vente
On connaît : cij , i = 1..n et j = 1..m, coût de transport (i, j ),
Xi , i = 1..n, stocks des dépôts,
Dj , j = 1..m, niveaux de demande aux points de vente.

On recherche, pour chaque couple (i, j ), la quantité (positive) xij à transporter du dépôt Xi au point de vente Dj .

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Programmation lineaire – p.3/49

Exemple 1 – Problème de transport
Solution du problème de programmation linéaire: n m

cij xij

min

xij ≥0

i=1 j=1 n xij = Dj

j = 1, . . . , m

xij = Xi

sous les contraintes

i = 1, . . . , n

i=1 m j=1

Le critère représente le coût total de transport. Les contraintes expriment l’égalité de l’offre et de la demande pour chaque point de vente et chaque dépôt.
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Exemple 2 – Pb de la ration alimentaire
On désire nourrir au moindre coût une collectivité tout en assurant une fourniture minimale de vitamines, sels minéraux, protéïnes, glucides, etc.
On connaît :
Ai vecteur de composition du produit i, ci coût pour 100 grammes (par exemple) de l’aliment i, b vecteur des quantités minimales requises pour le consommateur. ´
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Exemple 2 – Pb de la ration alimentaire
Le problème à résoudre, si l’on dispose