Chapitre

1

Revue des notions de base

Dans ce chapitre, on fera une revue des notions de base reli´ es au cours. En premier, e une revue des nombres complexes et leurs propri´ t´ s est pr´ sent´ e, tandis que la seconde ee e e partie de ce chapitre donne une revue des notions des circuits en r´ gime sinuso¨dal pere ı manent.

1.1

Nombres Complexes

Notation : C : Ensemble des nombres complexes. Soit z, un nombre complexe. z = a + jb ` ou a est la partie r´ elle et b est la partie imaginaire. Il faut noter que a et b sont tous deux e des nombres r´ els. e

Propri´ t´ s des nombres complexes ee Les e √ nombres complexes contiennent des racines carr´ es < 0. → −1 = j √ √ Pour α > 0, −α = j α. Exemple 1 x2 + x + 1 = 0 ∆ = b2 − 4ac = −3 < 0 1

CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE ´ Dans l’ensemble des nombres r´ els, cette equation n’a pas de solution. e Dans l’ensemble des nombres complexes, on peut trouver une solution : √ −1 − j 3 z1 = 2 √ −1 + j 3 z2 = 2

1.2

Calcul avec des nombres complexes

Soit deux nombres z1 et z2 . z1 = a1 + jb1 z2 = a2 + jb2 Addition : La somme des deux nombres est la somme de leur parties r´ elles et imagie naires. Σ = z1 + z2 = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 ) (1.1) Multiplication : Le produit des deux nombres est obtenu de la mˆ me facon que la e ¸ multiplication de deux polynˆ mes. o Π = z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2 ) + j(a1 · b2 + a2 · b1 ) (1.2)

La multiplication d’un nombre r´ el et d’un nombre complexe est distributive. Pour e α ∈ R, α · z1 = α · a1 + j(α · b1 ) (1.3) Conjug´ : z1 = a1 − jb1 e ∗

1.3
1. 2. 3. 4.

´ ´ ´ Proprietes de l’operateur complexe j

j ∗ = −j ∗ ∗ (z1 + z2 )∗ = z1 + z2 ∗ ∗ (z1 · z2 )∗ = z1 · z2 j 2 = −1 √ 5. j 3 = − −1 = −j 6. j 4 = 1 Gabriel Cormier 2 GEN1153

CHAPITRE 1. REVUE DES NOTIONS DE BASE

1.4

Plan complexe

` On peut repr´ senter les nombres complexes dans un graphique, comme a la figure 1.1. e L’axe x est l’axe des r´ els et l’axe y est l’axe des imaginaires. e