Théorème de baire

Pages: 30 (7327 mots) Publié le: 19 avril 2011
Consid´rations e autour du Th´or`me de Baire e e
Charles Navet
Promoteur : Michel Willem

2008-2009

Consid´rations autour du Th´or`me de Baire e e e

Travail ´crit et pr´sent´ dans le cadre du cours e e e MAT1381 - Projet personnel et s´minaire (Camille Debieve). e

Tous mes remerciements vont au Professeur Michel Willem pour ses explications, son soutien et l’int´rˆt qu’il a port´ce travail. e e e

Table des mati`res e
Introduction Pr´ambule e 1 L’axiome du choix 1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Retour sur le Th´or`me de Baire . . . e e 1.3 Formes faibles de l’axiome du choix . . 1.3.1 Axiomes du choix d´nombrable e et du choix d´pendant . . . . . e 1.3.2 Implications . . . . . . . . . . . 1.4 Un axiome contest´.. . . . . . . . . . . e 1.5 L’axiomedu choix est-il vrai ? . . . . . 5 6 7 . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 14 15

2 Le Th´or`me de Baire et l’axiome du choix d´pendant e e e

3 Fonctions continues nulle part d´rivable e 19 3.1 Ensembles maigres et th´or`me de Baire .. . . . . . . . . . . 19 e e 3.2 Un exemple connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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Introduction
Ce travail de fin de troisi`me ann´e de baccalaur´at en sciences math´me e e e atiques s’articule autour du Th´or`me de Baire, du nom du math´maticien e e e fran¸ais Ren´-Louis Baire (1874-1932). Dans le pr´ambule, nous rappellons c e e ce Th´or`me. e e La d´monstration duTh´or`me se fait par r´currence. Mais nous verrons e e e e que si nous n’ajoutons pas d’hypoth`se particuli`re (de s´parabilit´ de l’ese e e e pace, par exemple), cette d´monstration n´cessite l’introduction d’un axiome e e de la th´orie des ensembles, appel´ ”Axiome du Choix”. Nous verrons qu’il e e existe ´galement des formes plus faibles de cet axiome et nous d´montrerons e e des relations entreelles. Cet axiome du choix est encore aujourd’hui souvent contest´, nous essayerons d’analyser pourquoi. Tout cela compose le premier e chapitre. Le deuxi`me chapitre est, quant ` lui, essentiellement consacr´ ` montrer e a ea l’´quivalence entre le Th´or`me de Baire et une certaine forme plus faible de e e e l’Axiome du choix, appel´e ”Axiome du choix d´pendant”. e e Enfin, c’est une autreapplication du Th´or`me de Baire qui est pr´sent´e e e e e dans le dernier chapitre : nous montrerons que la plupart des fonctions continues est nulle part d´rivable, et nous en analyserons un exemple. e

Fig. 1 – Ren´-Louis Baire (1874-1932) e 5

Pr´ambule e
Durant tout ce travail, nous travaillerons sur base du Th´or`me de Baire ; e e il nous semble donc naturel de le pr´senter dans ce pr´ambule,et de donner e e sa d´monstration la plus classique, telle qu’elle est enseign´e dans les cours e e d’analyse fonctionnelle. Rappellons tout d’abord qu’un espace m´trique X est complet si toute e suite de Cauchy dans X converge. Et donnons la d´finition suivante. e D´finition. Soit S ⊂ X. la partie S est dense si adhS = X. e Baire a 30 ans, en 1904, lorsqu’il est invit´ ` donner cours pendant 6 moisea au coll`ge de France. Dans ce cours, on trouve plusieurs r´sultats fondamene e taux parmi lesquels celui ci : Th´or`me (Baire (1904)). Dans un espace m´trique complet, toute intere e e section d´nombrable d’ouverts denses est dense. e D´monstration. Soient X un espace m´trique complet et (On )n une suite e e d’ouverts denses dans X. Montrons que ∞ On est dense. n=0 Soient u ∈ X et r > 0. Ilsuffit de montrer que B(u, r) ∩ ( ∞ On ) = ∅. n=0 Travaillons par r´currence sur n. B(u, r) ∩ O0 est un ouvert (intersection e de deux ouverts) non vide (par densit´ de O0 ). Il existe donc une boule e B[u0 , r0 ] ⊂ B(u, r) ∩ O0 . Supposons consctruite B[uk , rk ], on voit que que B(uk , rk ) ∩ Ok+1 est un ouvert non vide. Il existe donc B[uk+1 , rk+1 ] ⊂ B(uk , rk ) ∩ Ok+1
1 avec rk+1 ≤ rk+1 . On...
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